§ 15. Доказательство теоремы 14.2

Понятия длины вектора в точке у и ортогональности векторов в точке у, используемые в этом параграфе, заимствованы из римановой геометрии, т. е. и Аналогично, длиной дуги кривой С называется длина дуги в римановой метрике; см. (12.2).

Пусть и

— часть гиперплоскости, проходящей через точку ортогонально к так что при где произвольный единичный вектор, ортогональный к в точке Ясно, что все решения системы (14.1), начальные точки которых близки к пересекают

При фиксированном и обозначим через решение системы (14.1), определенное начальным условием у ( Пусть правый максимальный интервал существования решения Тогда

Рассмотрим при фиксированном и двумерную поверхность определенную на -множестве, содержащем множество Рассмотрим на 5 дифференциальное уравнение для траекторий, ортогональных к параметрическим кривым (т. е. к интегральным кривым системы (14.1) на и определяемых следующим соотношением: Пусть -решение дифференциального уравнения

с начальным условием

(так что соответствующая ортогональная траектория начинается в точке см. рис. 6. Начиная с формулы (15.1) нижние индексы обозначают частные производные по соответствующим переменным.

Поскольку правая часть уравнения (15.1) имеет непрерывную частную производную по зависимой переменной решение задачи (15.1), (15.2) принадлежит классу и имеет непрерывную смешанную производную второго порядка см. следствие Кроме того, как функция переменной удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению в силу теоремы V.3.1, так что

поскольку (15.2) влечет за собой соотношение Мы будем использовать другую параметризацию поверхности определяемую следующим образом:

Пусть открытое подмножество в являющееся объединением «шаров» при Тогда если

Рис. 6.

Существует такая постоянная не зависящая от и, что функция определена при и любом причем

Таким образом, ортогональная траектория, выходящая из пересекает при каждом фиксированном и график решения системы (14.1) в точке а длина ее отрезка до точки пересечения удовлетворяет условию (15.5). Так как не превосходит интеграла (15.5) при мы видим, что при

Множество значений для которых существует решение при открыто в силу теоремы Пусть является точной верхней гранью для этого множества. Положим

при Покажем, что функция не возрастает с ростом при фиксированных Обозначим через квадрат подинтегрального выражения. Достаточно показать, что Для этого заметим, что (15.4) влечет за собой и потому Кроме того, по определению Используя эти факты, равенства (12.10) и

мы получаем, что Следовательно, в силу (14.2) и (15.3).

Таким образом, если Так как интеграл в (15.5) равен отсюда следует, что и потому при

Покажем теперь, что

для где правый максимальный интервал существования решения Предположим, что (15.7) не выполнено для какого-либо Так как последующие рассуждения не зависят от положения точки на отрезке предположим, что Тогда (15.7) не выполнено при В частности, существует предел при лежит в замыкании области Но тогда существует ортогональная траектория на такая, что и функция определена на некотором полуинтервале В частности, решение системы (14.1) при пересекает кривую при возрастании вблизи точки

Поскольку решения непрерывно зависят от начальных условий, отсюда следует, что [а потому и является пределом равномерно сходящейся последовательности функций [соответственно при на каждом замкнутом отрезке Поэтому функция непрерывна при если определить следующим образом:

при В силу монотонности имеем Поэтому дуга имеет конечную длину так что Следовательно, существует при

Предельное соотношение при выполняется равномерно на каждом замкнутом отрезке если функция равномерно непрерывна относительно для теорему 1.2.2. Чтобы проверить равномерную непрерывность, заметим, что

Легко видеть, что функция может быть продолжена на отрезок В самом деле, если то приведенное выше рассуждение применимо в случае и мы можем получить продолжение функции на отрезок где Кроме того, можно показать, что множество точек которые мы можем достичь таким образом, является одновременно открытым и замкнутым относительно полуинтервала так что точка достижима.

Это означает, что функцию можно определить для а потому и для некотором Но это противоречит определению числа Поэтому предположение о том, что (15.7) не выполнено при некотором неправомерно. В частности,

Из (15.8) при и определения в (15.4) следует, что

В силу непрерывности функции при существуют такие постоянные что при см. замечание после формулы (12.4). Более того, постоянные можно выбрать независимо от .

Таким образом, если то

при и Следовательно, если решение системы (14.1) с начальным значением при некотором то утверждения теоремы 14.2, за исключением утверждения о том, что выполнены с С другой стороны, если точка близка к то существует такое малое что пересекает при вблизи точки т. е. при некотором малом и некотором и. К тому же ясно, что мажорируется функцией с некоторым постоянным множителем. Таким образом, если выбрать К подходящим образом, то

при Итак, все утверждения, за исключением утверждения о том, что выполняются при

В каждом из рассмотренных двух случаев не составляет труда изменить так, чтобы Этим завершается доказательство теоремы 14.2.