§ 8. Линеаризация отображения

Прежде чем решать вопрос о линеаризации группы отображений рассмотрим вначале соответствующую задачу для одного отображения

Лемма 8.1. Пусть невырожденные постоянные -матрицы соответственно, и пусть

Пусть отображение : имеет вид

где -функции класса при малых обращающиеся в нуль вместе с первыми производными при Тогда существует непрерывное взаимно однозначное отображение

окрестности точки на некоторую окрестность точки при котором переходит в линейное отображение

Замечание. В силу леммы 3.1 можно предполагать, что принадлежат классу при всех и удовлетворяют (4.12) —

(4.13), где произвольно малые положительные числа. В этом случае будет показано, что если достаточно мало, то можно выбрать таким образом, что оно будет непрерывным взаимно однозначным отображением пространства переменных на пространство переменных при котором для больших соответственно; при этом для всех будет выполнено (8.4). Эти факты будут полезны для доказательства теоремы 7.1.

Следующие упражнения дают положительный или отрицательный ответ на вопрос о существовании линеаризующего отображения более гладкого, чем (8.3) в лемме 8.1; см. также приложение.

Упражнение Используя отображение : где покажите, что если произвольное линеаризующее отображение, то не принадлежат классу См. Хартман [21]. Пусть и 2, отображение принадлежит классу при малых обращается в нуль при вместе с производными первого порядка; А — постоянная матрица, не имеющая собственных значений, абсолютные величины которых равны или 1. Докажите, что существует такое отображение и класса окрестности точки на окрестность точки с ненулевым якобианом, при котором отображение становится линейным: (см. Хартман Используя пример отображения : где — вещественные переменные и фиксировано, покажите, что в нельзя выбрать из класса даже если аналитическое и См. Стернберг [3, стр. 812] и приложение к этой главе.

Упражнение 8.2. Сжатия, (а) Пусть произвольна. Рассмотрите отображение : где А — невырожденная квадратная матрица порядка причем при малых Покажите, что существует отображение и окрестности точки на окрестность точки при котором и якобиан не обращается в нуль, причем отображение линейно, а именно См. Хартман [20]. (Заметьте, что в силу упр. может не существовать отображения класса даже в случае аналитической функции Пусть в собственные значения матрицы А равны Предположим, что

Для всякой последовательности неотрицательных целых чисел для которой где я — такое целое число, что при Пусть Тогда в отображение можно выбрать из класса

Следовательно, если выполнено для любых последовательностей неотрицательных целых чисел удовлетворяющих неравенству и аналитично), то можно выбрать из класса аналитическим). См. Стернберг [3] и приложение к этой главе.

Доказательство леммы Поскольку матрица невырожденна, существует такое число что

Пусть Тогда

так что

В силу (8.6) отображение взаимно однозначно при согласно (4.13), оно является отображением на все -пространство; упр. 5.3(b). Поэтому существует обратное к отображение из класса имеющее вид

где

В силу (8.5) и (8.6)

если Наконец, в силу (4.13)

где Таким образом, отображение удовлетворяет тем же условиям, что и отображение

В дальнейшем мы будем предполагать, что настолько мало, что

(b) Отображение (8.3) должно удовлетворять соотношению

т. е. равенствам

Мы покажем, что функциональное уравнение (8.14) имеет непрерывное решение определенное для всех Для этого рассмотрим последовательные приближения

при Очевидно, каждая функция непрерывна при всех Кроме того,

при Это можно показать по индукции, поскольку при

Для того чтобы доказать сходимость этих последовательных приближений, введем функции

так что

при Докажем по индукции, что существуют такие положительные числа что

Поскольку при при ясно, что (8.20) справедливо при если Предположим, что (8.20) выполняется, если заменено на Тогда из (8.19) видно, что

где Так как , можно выбрать настолько малым, чтобы Поэтому (8.20) выполняетсядля всех если

Таким образом, последовательность при сходится равномерно на каждом ограниченном -мнoжecтвe к ,

и справедливо равенство (8.14). Аналогично, существует непрерывная при всех функция удовлетворяющая условию

выполняется (8.13). Это сразу видно, если, используя (8.7), переписать уравнение (8.13) в виде

заметить, что это уравнение аналогично уравнению (8.14), поскольку меньше 1.

(с) Покажем теперь, что отображение взаимно однозначно. Предположим противное, т. е. что существует такая пара точек что

Положим при Равенство (8.12) и индукция по показывают, что

и, поскольку взаимно однозначно,

В силу следствия 5.1 по можно определить многообразие а по многообразие где многообразия класса которые имеют единственную общую точку — начало координат — и трансверсальны в этой точке. Предположим вначале, что Тогда а потому и при Но тогда так как иначе при в силу следствия, 5.1, и из равенств (8.21), (8.22) вытекает, что при а это приводит нас к противоречию. Поэтому при следовательно, либо либо при так как состоит из одной точки Но последовательность ограничена в силу замечания 2, следующего за леммой 5.1. Поэтому влечет за собой при . Далее, равенства (8.22) и (8.24) показывают, что при больших следовательно, Это противоречит соотношению (8.25).

Таким образом, если (8.23) выполняется, то при Аналогично, Но тогда

Это вытекает из доказательства следствия 5.1, показывающего, что удовлетворяет неравенству

Однако в силу замечания 2 после леммы 5.1 функция ограничена при всех у, так что выполняется (8.26). Аналогично

Следовательно, можно так изменить нумерацию точек при , чтобы при Поэтому из (8.22) и (8.23) видно, что

Определим числа

при так что Следовательно, неравенство

выполняется при Предположим, что это неравенство доказано, если заменено на силу (8.2) и того факта, что мы имеем

Следовательно, (8.30) имеет место при всех Из (8.21), (8.24) и (8.26) следует, что при больших т. е. при больших Из (8.29) и (8.30) следует, что при больших . Поскольку это противоречит (8.25), мы доказали, что взаимно однозначно.

(d) R отображает -пространство на все -пространство. В самом деле, поскольку отображение непрерывно и взаимно юднозначно, его сужение на произвольное компактное множество С является гомеоморфизмом. Следовательно, по теореме Брауэра об инвариантности области, переводит открытые множества в открытые (доказательство этой теоремы Брауэра имеется в книге Гуревича и Волмэна [1, стр. 132—133]). Поэтому образ -пространства при отображении является открытым множеством. Для того чтобы показать, что он является также и замкнутым, рассмотрим такую последовательность для которой существует при Тогда последовательность ограничена, поскольку в противном случае из (8.21), (8.22) вытекало бы, что либо -коор-дината, либо -координата последовательности не является ограниченной. Но это противоречит тому, что при и потому существует такая точка что

Таким образом, отображение имеет непрерывное (однозначное) обратное определенное на всем -пространстве, и из (8.12) вытекает (8.4). Лемма 8.1 доказана.