§ 2. Нелинейные задачи

В этом параграфе рассматривается вопрос о существовании периодических решений нелинейных систем. С очень незначительными изменениями описываемые здесь методы и результаты применимы к случаю, когда требование «периодичности» заменено граничными условиями вида (1.3). Результаты зависят от полученных в последнем параграфе результатов для линейных систем и, в частности, от «априорной оценки» некоторых решений системы (1.1), определяемой формулой (1.7). Первые две теоремы относятся к нелинейной системе вида

в которой у представляет собой вектор с вещественными или комплексными компонентами.

Теорема 2.1. Пусть непрерывная и периодическая с периодом матрица такова, что система (1.2) не имеет нетривиального решения с периодом Пусть К определено, как в формуле (1.7) из теоремы 1.1, где Пусть функция непрерывна для всех периодична по с периодом при фиксированном у и удовлетворяет условию Липшица

для всех и с такой малой постоянной Липшица что Тогда система (2.1) имеет единственное решение периода

В действительности вовсе не обязательно, чтобы была определена для всех у. Если то достаточно потребовать, чтобы была определена для где

Доказательство. Введем в рассмотрение банахово пространство непрерывных периодических функций периода с нормой Тогда сходимость последовательности эквивалентна обычной равномерной сходимости на отрезке

Пусть непрерывная функция периода удовлетворяющая неравенству В этом случае по теореме 1.1

уравнение

имеет единственное решение периода Определим на множестве всех таких оператор положив Заметим, что (1.7), (2.4) и (2.2) показывают, что если то

где для Кроме того, если то

Значит, теорема 2.1 следует из теоремы 0.1, так как является неподвижной точкой оператора в том и только том случае, когда есть периодическое решение системы (2.1) периода см. (2.4), где

В теореме 2.1 условие (2.2) за счет потери «единственности» может быть отброшено, если норма мала.

Теорема 2.2. Пусть и К такие же, как в теореме 2.1. Пусть непрерывна для и всех при фиксированных у имеет по период и удовлетворяет условиям

Тогда система (2.1) имеет по крайней мере одно периодическое решение периода

Доказательство. Как и выше, определим как единственное решение системы (2.4) с периодом где имеет период Для доказательства теоремы достаточно установить, что оператор имеет неподвижную точку т. е. Мы сделаем это с помощью следствия 0.1 теоремы Тихонова. Из (1.7) и (2.6) следует, что удовлетворяет условию Другими словами, если есть введенное в последнем доказательстве банахово пространство, то отображает шар пространства в себя. Кроме того, из (1.7) следует, что

Так как функция непрерывна, ясно, что если то Значит, отображение о непрерывно.

Если то и (2.4) показывает, что существует постоянная С, не зависящая от такая, что Отсюда следует, что множество функций из области значений оператора ограничено и равностепенно непрерывно.

Поэтому по теореме Арцела оно имеет в компактное замыкание (т. е. любая последовательность имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность). Тогда из следствия 0.1 вытекает, что имеет неподвижную точку Ясно, что является периодическим решением периода Теорема доказана.

Замечание. При выводе следствия 0.1 из теоремы 0.2 Тихонова необходимо было знать, что выпуклое замыкание области значений оператора компактно. Как легко видеть, в только что приведенном доказательстве это требование выполнено, так как из удовлетворяет следующим условиям: непрерывна и имеет период Выпуклая оболочка множества (т. е. наименьшее выпуклое множество, содержащее состоит из множества функций представимых в виде Хпуп Ясно, что функции из этого множества удовлетворяют условиям Замыкание этого множества функций по норме пространства (т. е. относительно равномерной сходимости на дает множество функций, также удовлетворяющих условиям Тогда компактность этого множества в следует из теоремы Арцела. (Аналогичное замечание можно сделать и по поводу других применений следствия 0.1 в этой главе; см. теоремы 4.2 и 8.2.)

Рассмотрим теперь систему нелинейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра :

где непрерывна, имеет при фиксированных период по а вещественные -мерные векторы. Предположим, что при система (2.7) имеет периодическое решение Положим тогда (2.7) примет вид

Если имеет непрерывные частные производные по и где матрица Якоби вектора по отношению к то последнее уравнение имеет вид (2.1), где

равномерно по при В частности, если мало, то для малых справедливо (2.6); кроме того, и для малых справедливо условие (2.2) с произвольно малым Тогда из теоремы 2.1 следует, что если система (1.2) не имеет нетривиального периодического решения периода то система (2.7) для каждого малого имеет единственное решение периода Кроме того, используя доказательство теоремы 2.1, можно показать, что если

зависит от гладко, то тоже зависит от гладко. Все эти утверждения, однако, могут быть доказаны непосредственно с использованием классической теоремы о неявной функции.

Теорема 2.3. Пусть вещественные векторы, непрерывна для всех малых и всех из некоторой -мерной области. Пусть имеет по при фиксированных период и обладает по компонентам вектора непрерывными частными производными. Пусть система (2.7) при имеет решение периода обладающее тем свойством, что если то система (1.2) не имеет нетривиального решения периода Тогда для каждого малого система (2.7) имеет единственное решение периода с начальной точкой близкой к является непрерывной функцией от Если, кроме того, обладает непрерывной частной производной, то принадлежит классу

Из доказательства будет ясно, что если потребовать для выполнения более сильных условий гладкости (например, или является аналитической), то соответственно и гладкость будет большей (например, или является аналитической).

Доказательство. Пусть единственное решение системы (2.7), удовлетворяющее начальному условию Тогда непрерывна и имеет непрерывные частные производные по и компонентам вектора см. следствие Кроме того, если близко к то существует на отрезке см. теорему Решение имеет период в том и только в том случае, когда

Так как то уравнение (2.8) удовлетворено, если . Это уравнение может быть решено относительно если матрица Якоби левой части, является в точке невырожденной. Частные производные от по компонентам вектора вычисленные в точке , дают решение уравнения в вариациях системы (1.2); см. теорему Действительно, матрица ) является для (1.2) фундаментальной и удовлетворяет условию Поэтому условие, что система (1.2) не имеет периодического решения, эквивалентно предположению, что матрица является невырожденной; см. лемму 1.1, где Значит, к (2.8) применима теорема о неявной функции, а это приводит к непрерывной функции Соответственно является

периодическим решением системы (2.7) с периодом причем единственным таким решением для начальных точек близких к Другие утверждения теоремы 2.3 также следуют из теоремы о неявной функции.

По вопросу о существовании периодических решений в случае, когда

имеется обширная литература, и мы не будем здесь его рассматривать.

Заметим, что если в (2.7) не зависит от то условия теоремы 2.3 не будут выполняться, так как является нетривиальным периодическим решением уравнений в вариациях для (1.2). В этом случае, однако, имеет место следующий результат:

Теорема 2.4. Пусть вещественные векторы, непрерывна для малых из некоторой -мерной области и имеет непрерывные частные производные по компонентам вектора Пусть при система

имеет решение периода такое, что если то ровно один из мультипликаторов системы (1.2) равен 1 (т. е. имеет в качестве простого собственного значения см. (1.5), где Тогда при малых система (2.9) имеет единственное периодическое решение с периодом зависящим от такое, что близко а период близок к более того, непрерывны и

Относительно связи между гладкостью и функций можно сделать такие же замечания, как и к теореме 2.3.

Геометрические соображения, используемые в следующем ниже доказательстве, станут более ясными, если обратиться к лемме IX. 10.1, показывающей, что мы можем получить все решения системы (2.9) вблизи если рассмотрим решения с начальными точками близкими к и удовлетворяющими условию, что находится на гиперплоскости нормальной к ) и проходящей через

Доказательство. Пусть единственное решение системы (2.9), удовлетворяющее начальному условию Это решение имеет период в том и только том случае, когда выполняется (2.8). А уравнение (2.8) удовлетворено, если

Так как решения системы (2.9) однозначно определены начальными условиями и то отсюда следует, что

для всех Предположим, что координаты в -пространстве выбраны так, что и Обозначим через гиперплоскость проходящую через точку перпендикулярно к Возьмем на этой гиперплоскости точку Тогда для малых уравнение (2.8) имеет единственное решение зависящее от если матрица Якоби вектора по отношению к является в точке невырожденной.

Матрица в которой столбцы совпадают с векторами в точке является для (1.2) фундаментальной, а ее последний столбец равен При согласно (1.5), имеем

Так как система (1.2) имеет в качестве периодического решения периода с точностью до постоянных сомножителей — лишь один последний столбец матрицы взятой в точке то матрица аннулирует векторы с вида и только такие векторы.

Матрица Якоби вектора по отношению к в точке ) равна

а так как последний столбец в совпадает с , то Если вырожденная, то существует вектор такой, что т. е.

В силу (2.10) и равенства это можно представить так:

или

Если то так как аннулирует только векторы вида Если то Но это означает, что число является по меньшей мере двукратным собственным значением матрицы Это противоречие показывает, что матрица Якоби невырожденна.

Значит, к (2.8) применима теорема о неявной функции, что дает нам существование искомых функций Соответственно, если является периодическим решением системы

(2.9). Это решение является единственным периодическим решением, имеющим начальную точку близкую к и период, близкий к Теорема 2.4 доказана.

Упражнение 2.1. Пусть непрерывна для всех и имеет по период при фиксированных Пусть решение системы

удовлетворяющее условию единственно для всех и существует для Наконец, пусть для некоторой точки решение ограничено при Тогда (2.11) имеет по крайней мере одно периодическое решение периода См. Массера [1].

Упражнение 2.2. Пусть кусочно дифференцируемы на Пусть

непрерывна в открытом множестве, содержащем Для и удовлетворяет условию Липшица относительно у. Предположим, наконец, что функции

не меняют знака (например, или и что для всех Тогда имеет по крайней мере одно решение такое, что и . См. Кноблох [1].