§ 3. Дифференцируемость

Если предположить, что принадлежит классу то общее решение задачи (1.2) тоже принадлежит классу Этот результат, даже в более сильной форме, содержится в следующей теореме.

Теорема 3.1 (Пеано). Пусть функция непрерывна а открытом -множестве и обладает там

непрерывными частными производными по компонентам векторов Тогда (i) единственное решение задачи (1.2) принадлежит классу в открытой области его определения где далее, если обозначает матрицу Якоби вычисленную в точке

то будет решением задачи Коши

где при будет решением задачи Коши

где есть вектор взятый в точке производная будет определяться формулой

Единственность решения задачи (1.2) гарантируется, например, теоремой II. 1.1. Заметим, что утверждения, касающиеся и задачи (3.2) или и задачи (3.3), формально получаются как результат дифференцирования обоих уравнений задачи (1.2), т. е. уравнений

по переменным или Аналогично, формальное дифференцирование этих уравнений по показывает, что является решением уравнения удовлетворяющим начальному условию Но и потому (3.4) является формальным следствием уравнений (3.2) и принципа суперпозиции (теорема IV. 1.1) для линейной системы

Более общо, если является -параметрическим семейством решений уравнений при фиксированном принадлежит по классу то его частная производная при также является решением системы По этой причине уравнение называется для задачи (1.2) уравнением в вариациях вдоль решения

Утверждение, касающееся и задачи (3.2), показывает, что матрица Якоби является фундаментальной для

системы и обращается при в единичную матрицу. В частности, из теоремы IV. 1.2 вытекает

Следствие предположениях теоремы 3.1 для

где аргумент подинтегрального выражения равен

Замечание. Согласно (3.5), Таким образом, непрерывное взаимно однозначное отображение при фиксированном рассмотренное в замечании к теореме 2.1, принадлежит классу и имеет обратное отображение, принадлежащее относительно классу Это утверждение относительно обратного отображения очевидно также из явной формулы

Упражнение 3.1 (Лиувиллъ). Пусть принадлежит классу в открытом множестве и пусть является единственным решением задачи Коши для Покажите, что отображения определяемые функциями при фиксированном сохраняют объем в том и только том случае, когда

Заметим, что из утверждения о том, что является решением задачи (3.2), следует существование повторной производной и ее совпадение с Последнее выражение является непрерывной функцией от Отсюда по теореме Шварца следует, что существует и совпадает с Подобное же замечание относится и к Заметим также, что в правой части формулы (3.4) переменная встречается только в Тем самым доказано

Следствие 3.2. В предположениях теоремы 3.1 вторые смешанные производные существуют и непрерывны.

Чтобы не прерывать доказательства теоремы 3.1, докажем сначала одну простую лемму. В случае, когда рассматриваются векторы, она представляет собой удобную замену теоремы Лагранжа из дифференциального исчисления, так как позволяет избежать некоторой громоздкости в рассуждениях, связанной с тем, что в равенстве значения зависят от

Лемма 3.1. Пусть непрерывна на множестве — открытое выпуклое у-множество, и пусть имеет непрерывные частные производные по компонентам у. Тогда на множестве существуют непрерывные функции такие, что

и если

Функции определяются формулой

Доказательство. Положим , где

Определение функции корректно в силу выпуклости множества Очевидно,

Отсюда видно, что правая часть формулы (3.7) равна если определять формулой (3.8). Так как то тем самым лемма доказана.

Доказательство теоремы 3.1. Так как задачу (1.2) можно заменить задачей (1.4), а вектор вектором у, то при доказательстве существования и непрерывности частных производных решения без потери общности можно считать, что не зависит от Таким образом, мы будем рассматривать лишь задачу Коши (1.1), имеющую решение где

Для того чтобы упростить область, на которой следует рассматривать функцию введем два произвольных числа удовлетворяющих следующим условиям: Тогда по теореме 2.1 функция определена и непрерывна для значений близких к В последующем будут рассматриваться только такие . Так как утверждения теоремы 3.1 имеют локальный характер, то ясно, что их достаточно доказать для внутренних точек такого -множества.

а) Докажем сначала существование производной Пусть некоторый скаляр и вектор, входящий в (3.2). Для

малых положим

Функция определена на согласно теореме 2.1,

равномерно на Из условия задачи (1.1) следует, что Применяя лемму 3.1 при получаем

Обозначим

Существование производной эквивалентно существованию при 0.

Из (1.1) и (3.9) получаем, что так что Значит, согласно (3.11) и (3.12), функция является решением задачи Коши

где обозначает -матрицу, в которой столбец есть вектор Из формулы (3.6), непрерывности и соотношения (3.10) следует, что при равномерно относительно где есть матрица, определенная по формуле (3.1).

Будем рассматривать задачу (3.13) как семейство задач Коши, зависящее от параметра причем правая часть этого дифференциального уравнения непрерывна на открытом множестве мало и произвольно. Так как решения задач (3.13) единственны, то из теоремы 2.1 следует, что общее решение является непрерывной функцией от (при фиксированных В частности, существует и является решением задачи (3.2) в интервале Отсюда следует существование производной

Для проверки непрерывности этой производной по всем ее аргументам перепишем (3.2) следующим образом:

т. е. как семейство задач Коши, зависящее от параметра . Поскольку является непрерывной функцией от и задача Коши для линейного уравнения имеет единственное решение, то из теоремы 2.1 следует, что решение задачи (3.14) непрерывно по всем его аргументам.

Докажем теперь существование и непрерывность производной Положим

Решение задачи Коши совпадает с решением задачи т. е. Поэтому

Так как имеет по компонентам непрерывные частные производные и при то

когда Из теоремы Лагранжа (о конечном приращении) и равенства следует, что существует такое, что

Функцию при можно представить как Поэтому при имеем

Отсюда видно, что существует и удовлетворяет соотношению, аналогичному (3.4). А из этого соотношения следует, что является непрерывной функцией от

Возвращаясь к задаче (1.2) (так что может теперь зависеть от мы видим, что принадлежит классу Применяя к (1.4) результаты, только что доказанные для (1.1), легко проверить справедливость утверждений, относящихся к (3.2), (3.3) и (3.4). Эту проверку мы предоставляем читателю

Из доказательства теоремы 3.1 вытекает

Следствие 3.3. Пусть функция непрерывна на открытом -множестве где вектор произвольной размерности. Предположим, что имеет непрерывные частные производные первого порядка по компонентам векторов Тогда задача Коши

имеет при фиксированных единственное решение где Это решение обладает частными производными первого порядка по и компонентам

и частными производными второго порядка Наконец, эти частные производные от непрерывны по

Доказательство. Так как частные производные от встречающиеся в этих утверждениях, вычисляются при фиксированном то их существование следует из теоремы 3.1. Их непрерывность по получается, как и при доказательстве теоремы 3.1, путем использования аналогов соотношений (3.1), (3.2), георемы 2.1 и аналога формулы (3.4).