§ 12. Доказательство теоремы 11.2

Ниже будет доказано, что достаточно рассмотреть систему линейных уравнений. Из (8.2) следует, что решение системы (8.1), равное нулю при одном значении равно нулю при всех Поэтому при больших например при Пусть определим матрицу следующим образом:

при Являясь решением системы (8.1), вектор удовлетворяет линейной системе

Отметим, что из (8.2) и (12.1) вытекают неравенства

Поэтому теорема 11.2 содержится в следующем утверждении:

Лемма 12.1. Пусть матрица непрерывна при и

где функция непрерывна и удовлетворяет (4.24). Предположим, что некоторое решение системы (12.2). Тогда справедливо утверждение теоремы 11.2.

Доказательство леммы 12.1. Обозначим через различные вещественные части собственных значений матрицы После замены переменных можно привести матрицу к виду где собственные значения матриц таковы,

что Соответственно, пусть система (12.2) записана в виде

причем функции образуют прямоугольную матрицу и

Если 1 число достаточно велико и 0, то по теореме 11.1 система (12.4) имеет решение такое, что

Решение единственно в силу теоремы 8.2.

В самом деле, его единственность доказана даже в том случае, когда (12.6) и 12.7) заменены условием

(см. замечание 2, следующее за теоремой 8.3). Поэтому функция линейно зависит от (при фиксированных

Так как существует единственный вектор такой, что данное решение имеет вид

Действительно, значения определяются последовательно следующим образом: если положим ; затем полагаем где

Пусть наибольшее из значений для которых в (12.9). Ясно, что вектор удовлетворяет условиям (12.6) и (12.7). Лемма доказана.