§ 5. Инвариантные многообразия отображения

Один из основных результатов, который будет доказан в этом параграфе, относится не ко всей группе отображений а только к отображению . В приложениях этого результата

Лемма 5.1. Пусть А есть -матрица, С — невырожденная -матрица и справедливы соотношения (4.5) и (4.6). Пусть отображение вида

где векторы принадлежат классу при малых и удовлетворяют условию (4.11). Тогда существует такая -мерная вектор-функция принадлежащая классу при малых что

а отображения

приводят к виду

где

Условие (5.6) означает, что множество точек лежащих в окрестности начала координат на плоскости инвариантно относительно отображения (5.4), т. е. многообразие локально инвариантно относительно (5.1). При применении леммы 5.1 будут часто использоваться следующие два замечания. Замечание 2 будет полезно в §§ 8—9.

Замечание 1. Ввиду (4.11) и леммы 2.1 можно предполагать, что принадлежат классу при всех и удовлетворяют (4.12) — (4.13), где сколь угодно малые положительные числа. Пусть

Покажем, что в этом случае функция может быть определена для всех у [так что преобразование будет определено для всех и условие (5.6) будет выполнено для всех Кроме того, можно указать такую постоянную что

причем при

Замечание 2. Если предположить дополнительно, что то при

Мы докажем теперь лемму 5.1 с помощью метода последовательных приближений. Другое доказательство будет приведено в упр. 5.3 и 5.4 в конце этого параграфа.

Доказательство леммы 5.1 и замечания 1. Предположим временно, что (т. е. нам известно. Тогда из (5.1), (5.3) следует, что

Отсюда, в силу (5.4), имеем

и условие (5.6) эквивалентно условию

Таким образом, мы должны показать, что функциональное уравнение (5.11) имеет решение из класса удовлетворяющее (5.2) - (5.8).

Уравнение (5.11) может быть решено методом последовательных приближений. Пусть

и после того как найдена функция положим

Введем для краткости следующие обозначения: где Очевидно, что могут быть найдены и принадлежат классу при всех и. Кроме того, если матрица Якоби для функции то

где, например, в точке

Определим число равенством

в соответствии с (5.7). Покажем по индукции, что

Ясно, что (5.16) выполняется при Предположим, что (5.16) справедливо, когда заменено на Тогда, согласно (5.14) и поскольку имеем

Так как отсюда следует (5.16), что и требовалось доказать.

Проверим теперь, что равностепенно непрерывны. Для всякой функции или положим

Пусть

где — любая из четырех матриц Якоби: для функций Покажем по индукции, что

где

Ясно, что (5.18) выполняется при Предположим, что это неравенство доказано для Заметим, что в силу (5.16)

откуда

причем последние два неравенства вытекают из (4.12) и (5.7). Используя тождество и неравенство можно вывести из (5.14), что при выполняется оценка

В силу (5.19) выражение в правой части равно

Далее, можно показать, что последовательность сходится равномерно на каждом ограниченном -множестве. Для этого достаточно установить, что существуют такие постоянные что и при

Это неравенство верно при если Миг таковы, что Предположим, что уже доказано неравенство (5.22), в котором заменено на силу (5.13) величина не превосходит

Первое слагаемое оценивается сверху величиной

Поэтому не превосходит величины

которая в свою очередь не больше, чем Таким образом, если то справедливость неравенства (5.22) доказана, а тот факт, что вытекает из (5.7).

Итак, последовательность сходится к равномерно на всяком ограниченном множестве. В силу (5.13) предельная функция удовлетворяет функциональному уравнению (5.11). Наконец, поскольку последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, существует подпоследовательность, сходящаяся равномерно на каждом ограниченном -множестве. Отсюда следует, что Таким образом, наше утверждение доказано полностью.

Доказательство замечания 2. Пусть при В силу (4.13) и (5.11) имеем при при Поэтому, если но то Отсюда следует справедливость замечания 2, так как если то при больших существует единственное целое число для которого при

Упражнение Эта часть упражнения связана с вариантами леммы 5.1 при различных предположениях относительно гладкости Вместо прежнего условия о принадлежности классу и о справедливости (4.11), (4.12) предположим, что удовлетворяют одному из следующих условий: при и удовлетворяют условию Липшица с произвольно малой

постоянной Липшица при малых для всякого имеем если достаточно малы]; принадлежат классу и удовлетворяют удовлетворяют (ii) при а их частные производные порядка имеют модуль непрерывности, не превосходящий (с точностью до умножения на константу) монотонной неотрицательной функции при являются аналитическими и удовлетворяют (4.11). Тогда выполняется аналог леммы 5.1, в котором условие заменяется соответствующим свойством (i), (ii), (iii) или (iv).

(b) Проверьте, что если в (4.1) обладают свойствами аналогичными (i), (ii), (iii) или (iv), то в (4.10) обладают соответствующими свойствами (i), (ii), (iii) или (iv) по отношению к равномерно на отрезке

Упражнение 5.2. Покажите, что ограничение не является необходимым в лемме 5.1, если удовлетворяют условию Гёльдера (равномерно). [Заметим, что неравенство а используется в доказательстве только в связи с (5.20), (5.21). Этого можно избежать, если а потому и взять в виде при достаточно малом и постоянном

Следствие 5.1. Пусть удовлетворяют предположениям леммы 5.1 и замечания 1. Для заданных положим с одной стороны, влечет за собой при (если выполнены соотношения (4.2), (4.3) и то при всех при с другой стороны, влечет за собой

Замечание 3. Если (так что то многообразие в окрестности точки может быть описано как множество таких точек что последовательность обладает хотя бы одним (а тогда и всеми тремя) из следующих свойств: 1) экспоненциально при точки лежат в окрестности начала координат при В случае многообразие называется устойчивым многообразием для отображения (5.1) при многообразие, обладающее соответствующими свойствами при называется неустойчивым

Доказательство следствия 5.1. Заметим, что уравнение эквивалентно равенству В этом случае

в силу (5.4), (5.6). Соответственно так что и потому при Следовательно, для произвольного существует такое что при и потому при Поскольку при имеет место неравенство и первое утверждение доказано. При этом Поскольку с помощью линейного преобразования переменных у можно сделать сколь угодно близким к а, отсюда следует, что

Из (5.10) вытекает, что справедливо соотношение

так что а если учесть (5.6), то можно утверждать, что Следовательно, из равенства вытекает, что или Вместе с неравенством II это дает последнее утверждение.

Теорема 5.1. Пусть отображение : имеет вид

где при малых постоянная невырожденная матрица, имеющая собственных значений, абсолютная величина которых меньше собственных значений с абсолютной величиной, равной 1, и собственных значений, абсолютная величина которых больше 1, причем Тогда существует такое отображение окрестности точки на окрестность начала координат в евклидовом -пространстве, что принадлежит якобиан не равен нулюг а отображение имеет вид

где — квадратные матрицы порядков с собственными значениями, абсолютная величина которых меньше 1, равна 1 и больше 1 соответственно; и их частные производные первого порядка равны нулю в начале координат и

Условие (5.25) [или (5.26)] означает, что плоскость размерности d [плоскость размерности является локально инвариантным многообразием. Если не имеет собственных значений, равных по абсолютной величине 1, так что то переменные не участвуют в (5.24).

Доказательство. (Предлагаем читателю восстановить самостоятельно недостающие подробности.) В силу леммы 5.1 существует такое отображение класса с невырождающимся якобианом, что если отображение определяется правыми частями формулы (5.24), то справедливо (5.25). Если применить лемму 5.1 к отображению то мы получим новое преобразование Отображение и является искомым.

Полученные результаты весьма полезны в теории дифференциальных уравнений. Это видно из доказательства следующего лредложения, вытекающего из леммы 5.1 и следствия 5.1.

Следствие 5.2. Пусть группа отображений из класса представлена в виде (4.10) и удовлетворяет (4.11) и (4.12) при во всех точках Предположим, что такие постоянные матрицы, что выполнены соотношения (4.2), (4.3), (4.5) и (4.6), удовлетворяет (5.7). Пусть функция, существование которой утверждается в лемме 5.1 и последующем замечании 1 для Тогда отображение имеет вид

где

Кроме того, если то при всех при всех при если при

Если то справедливо замечание, аналогичное тому, которое было сделано после следствия 5.1.

Доказательство. Проверим вначале, что если то существуют такие положительные постоянные и что

Чтобы убедиться в этом, заметим, что Поскольку из (4.10) и (4.11) следует, что

Аналогичное неравенство справедливо для Из этих неравенств вытекает (5.29).

Если то поведение при больших описано в следствии 5.1. Второе из неравенств (5.29) означает тогда, что при

Если предположить, что при некотором например при при в соответствии с утверждением следствия 5.1. Мы пришли к противоречию. Поэтому при всех т. е. при всех и справедливо равенство (5.28).

Заметим, что если при некотором то равенство влечет за собой Для того же Но тогда при всех в силу группового свойства Остальные утверждения следствия 5.2 вытекают из аналогичных утверждений леммы 5.1 и неравенств (5.29).

Два следующих упражнения содержат другое доказательство леммы 5.1, основанное на методах изучения неавтономных дифференциальных уравнений из §§ Х.8-10. Основную часть этого доказательства составляет упр. 5.4(b), приводящее к сравнительно простому доказательству леммы 5.1; в нем используются не преобразования а преобразования вида

где зависит от см, части упр. (3.4).

Упражнение Пусть непрерывное отображение пространства переменных в себя при Пусть — некоторый компакт и замкнутые -подмножества в такие, что не пусто при Тогда существует такая точка что при Пусть невырожденная квадратная матрица порядка непрерывная векторнозначная функция, определенная при всех и такая, что для больших Тогда преобразование является отображением на все (т. е. уравнение имеет хотя бы одно решение для каждого

Упражнение Пусть те же матрицы, что и в лемме 5.1. Предположим, что непрерывные функции, определенные при всех которые равны нулю при больших Обозначим через отображение

пусть проекция -пространства на -пространство: Покажите, что при фиксированном

отображение

является отображением на все -пространство. (b) Пусть таковы, что

где . Обозначим через К конус а через. шар фиксированная точка. Покажите, что и существует такая точка что а потому и непусто. Следовательно, существует точка такая, что при Докажите, что если при то где но если

при некотором (и, следовательно, при всех больших ), то при: большом

(d) В дополнение к условиям частей предположим, что функция удовлетворяет условию

при всех Введем отображения

где

так что если

Докажите, что в утверждении единственным образом определяется по в действительности, если при то

(e) Предположим, что выполнены условия кроме того, принадлежат Пусть тот элемент, существование которого утверждается в Покажите, что (и что частные производные функции равны нулю при если производные от равны нулю в точке В самом деле, пусть где

линейное отображение

причем матрицы Якоби вычисляются в точке Пусть вектор, компонента которого — при при Тогда

— единственная последовательность, удовлетворяющая условиям при Выведите лемму 5.1 из утверждения положив