§ 9. Асимптотическое интегрирование

В этом параграфе символом обозначена полупрямая (так что Из теоремы 8.2 вытекает следующее утверждение.

Теорема 9.1. Пусть непрерывна на функция непрерывна для удовлетворяет условию

а ее значения принадлежат подпространству Предположим., что или пара является допустимой для системы

на существует такая измеримая функция локально ограничены,

и для каждого такого, что

уравнение (9.2) имеет -решение. Тогда, если достаточно велико, система

имеет решение для такое, что при

Замечание 1. Предположение ii) просто означает, что пара является для (9.2) допустимой. Фактически предположение i) является частным случаем предположения однако для удобства оно выписано отдельно. По поводу необходимых и достаточных условий, налагаемых на пару или и обеспечивающих их допустимость для (9.2), где теорему XIII.6.3.

Замечание 2. Пусть фундаментальное решение системы

удовлетворяющее условию и пусть Тогда, если норма достаточно мала, а достаточно велико, решение в теореме 9.1 может быть выбрано так, чтобы

Пусть — постоянные из леммы 6.3, связанные с допустимостью подходящих пар или В соответствии с предположением i) или ii) условия малости и роста имеют вид

Доказательство. Пусть или в соответствии с тем, предполагаем ли мы выполненным i) или Тогда теорема 9.1 вытекает из следствия 8.1, если заменить в нем на где равна 1 или О в соответствии с тем, какое из соотношений или выполнено.

Упражнение 9.1. Часто возникает вопрос такого типа: пусть — решение однородной системы (9.6); когда система (9.5) имеет для больших решение такое, что при Выведите из теоремы 9.1 достаточные условия (для того, чтобы ответ был положительным).

Желая применить теорему 9.1, рассмотрим уравнение второго порядка

для вещественной функции и. Предположим, что непрерывна для и произвольных Пусть — некоторые постоянные. Поставим такой вопрос: когда уравнение (9.7) имеет для больших решение, удовлетворяющее условию

Сделаем замену переменной где

тогда (9.7) принимает вид

переходит в условие при Из теоремы 9.1 вытекает такое

Следствие 9.1. Пусть непрерывна для и произвольных и такова, что

где функция, для которой

Тогда уравнение (9.7) имеет при больших решение удовлетворяющее условию (9.8).

Упражнение Докажите следствие Примените его к случаю или Обобщите это следствие, заменив (9.7) уравнением

На самом деле следствие 9.1 является частным случаем теоремы которая в свою очередь может быть выведена из теоремы 9.1; см. ниже упр. 9.3.

С помощью теоремы 9.1 могут быть решены многие задачи, включающие в себя асимптотическое интегрирование. Очень часто эти задачи ставятся в следующем виде: пусть непрерывно дифференцируемая для матрица; имеет ли нелинейная система (9.5) решение такое, что если

то существует при Дифференциальное уравнение для имеет вид

Замена переменных

преобразует (9.12) в

где

Задача, таким образом, сводится к следующей: имеет ли (9.14) для больших решение такое, что при Ясно, что для ответа на этот вопрос нужно обратиться к теореме 9.1.

В случае утвердительного ответа нам хотелось бы отметить что представление (9.11) и заключение при не несут в себе большой информации, если не получены оценки [например, если есть где мы можем только утверждать, что но не будем иметь асимптотической формулы вида при

Упражнение 9.3. Следуя только что указанной процедуре, выведите теорему Х.13.1, используя теорему 9.1 (вместо леммы

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)