§ 3. Гладкие аппроксимации

В некоторых ситуациях необходимо или расширить область определения функции например, заданной и непрерывной на замкнутом параллелепипеде, или равномерно ее аппроксимировать гладкими (класса или относительно некоторых переменных функциями. Для получения таких расширений или аппроксимаций (значения которых заключены в тех же пределах, что и значения можно использовать следующие рассуждения.

Пусть определена на и пусть Определим для и всех у формулой если если I Ясно, что непрерывна для произвольно) и что В некоторых случаях более удобно заменить таким расширением функции которое обращается в нуль при больших значениях Таким расширением служит функция где непрерывная функция для удовлетворяющая условиям для для для

Для того чтобы равномерно аппроксимировать на функциями являющимися, например, гладкими относительно компонент у, выберем сначала функцию класса при удовлетворяющую условиям для для Тогда существует постоянная зависящая только от и от размерности такая, что для каждого

где обозначает евклидову длину у. Положим

где

Так как получается при фиксированном усреднением значений функции в шаре то ясно, что сходимость будет равномерной на множестве у произвольно}. Заметим, что для всех и что для . Кроме того, имеет по непрерывные частные производные всех порядков.

Из последней формулы видно, что если функция имеет по непрерывные частные производные порядка то они равномерно аппроксимируются соответствующими производными функций