§ 9. Доказательство теоремы 7.12

Случай Сделав линейную замену переменных, можно добиться того, что будет иметь вид, аналогичный нормальной жордановой форме, за исключением того, что поддиагональные элементы равны или (выбор мы уточним позже; см. § IV.9). Поэтому преобразование (12.2) можно записать в координатном виде следующим образом:

где или В равенстве (13.1) и ниже через (i) обозначен набор из неотрицательных целых чисел;

Отображение мы определим так, что каждая компонента вектора будет многочленом от

причем должно выполняться равенство или, что эквивалентно,

С точностью до членов порядка компонента левой части отображения (13.3) равна

компонента правой части равна

Поэтому (13.3) эквивалентно равенству

Приравнивая коэффициенты, получаем линейную систему уравнений для

Легко видеть, что в силу (12.1) эти линейные уравнения однозначно определяют числа при если В самом деле, главная часть множителя слева (т. е. член наименьшего порядка относительно равна так что мы можем последовательно определить

сначала для затем для Это показывает, что если то определитель матрицы коэффициентов при неизвестных не равен нулю.

Отсюда следует, что если достаточно мало и или то матрица коэффициентов невырожденна. Тем самым лемма 12.1 доказана при

Замечание. Чтобы рассмотреть случай отметим следующее следствие из уже проведенной части доказательства: если то существует единственное отображение вида (13.2), удовлетворяющее лемме 12.1. В самом деле, из доказательства видно, что определяется единственным образом после некоторой линейной замены переменных (не меняющей вида отображения (13.2)). Следовательно, определяется единственным образом и до того, как производится это линейное преобразование.

Случай Так как можно выписать формальное (не обязательно сходящееся) разложение в ряд Тейлора в точке

где Приведенное выше доказательство и следующее за ним замечание показывают, что существует единственное отображение, имеющее вид формального степенного ряда

для которого имеет место формальное равенство

Чтобы закончить доказательство, допустим на время, что справедлив следующий результат:

Лемма 13.1. Для всякого формального степенного ряда

с вещественными коэффициентами существует бесконечно дифференцируемая функция такая, что ее формальный ряд Тейлора совпадает с (13.5).

Если лемма 13.1 верна, то искомое бесконечно дифференцируем мое отображение имеет вид: где функция имеет в качестве формального ряда Тейлора ряд, стоящий в правой части в (13.4). Поэтому для завершения доказательства леммы 12.1 остается только проверить справедливость леммы 13.1.

Доказательство леммы 13.1. Пусть вещественная бесконечно дифференцируемая функция, такая, что при при Легко видеть, что ряд

равномерно сходится при и его сумма является искомой бесконечно дифференцируемой функцией. Его член, равен нулю, если не выполнено неравенство

а если оно выполнено, то этот член не превосходит

Поэтому ряд (13.6) равномерно сходится при Аналогично, ряд (13.6), продифференцированный формально любое число раз, остается равномерно сходящимся и

при Лемма 13.1 доказана.