§ 14. «J(y) x*x меньше либо равно 0, если x*f(y) = 0»

В трех последних параграфах этой главы рассматривается условие и его обобщения. В этом параграфе обсуждаются условие если а также некоторые более общие условия. Если система

такова, что на множестве положительно определенный элемент римановой длины дуги, так что то более общее условие имеет вид

где матрица, определенная в (12.10). В первой теореме мы предполагаем, что

и что

есть локально асимптотически устойчивое решение системы (14.1); см. § II 1.8. Областью притяжения точки называется множество точек таких, что решения системы (14.1), выходящие из при существуют при всех и при Если множество открыто, то область притяжения также открыта.

Теорема 14.1. (i) Пусть вектор-функция на связном открытом у-множестве содержащем точку такова, что справедливы условия (14.3) и (14.4). (ii) Пусть настолько малое число, что шар лежит в области притяжения точки — множество точек таких, что Пусть на причем матрица положительно определена при каждом у и такова, что элемент является полным на Пусть, наконец,

условие (14.2) выполнено для Ее и всех Тогда решение является асимптотически устойчивым в целом.

Прежде чем перейти к доказательству, интересно сформулировать некоторые следствия из этой теоремы.

Следствие 14.1. Пусть выполнены условия теоремы (14.1) в случае, когда множество совпадает со всем у-пространством. Предположим, что существует функция из класса на такая, что

и если , то

Тогда решение является асимптотически устойчивым в целом.

Заметим, что если то условие (14.6) сводится к такому условию: при

Упражнение 14.1. Докажите следствие 14.1, полагая см. упр. 12.4.

Упражнение 14.2. Докажите, что следствие 14.1 справедливо, если и

Следствие 14.2. Пусть выполнено условие (i) теоремы 14.1 в случае, когда совпадает со всем у-пространством, а также условие (14.7). Пусть собственные значения эрмитовой части матрицы равны и

Тогда решение является асимптотически устойчивым в целом. Если то условие (14.9) эквивалентно условию

Упражнение 14.3. Докажите это следствие, проверив, что из (14.9) вытекает (14.8).

Теорема 14.1 будет выведена из следующего результата, в формулировке которого решение не обязательно тождественно равно нулю.

Теорема 14.2. Пусть является вектор-функцией класса на открытом у-множестве Пусть матричная функция класса на положительно определенная при и пусть выполнено условие (14.2). Предположим, что решение системы (14.1), определенное на правом максимальном интервале и обладающее следующим свойством: существует число а, такое, что Тогда существуют такие положительные постоянные что для всякого решения системы (14.1), для которого найдется возрастающая функция такая, правый максимальный интервал существования решения и при

В этой теореме это метрика, определяемая формой Мы не предполагаем, что элемент является полным на а условие означает, что если полуоткрытая дуга класса начинающаяся в точке т. е. риманова длина которой конечна и то существует предел при и Грубо говоря, условие означает, что не подходит к границе множества ближе, чем на расстояние -метрике), т. е. оно означает, что множество а для некоторого лежит в Теорема 14.2 будет доказана в следующем параграфе, а теорема в § 16.

Упражнение 14.4. Пусть вектор-функция принадлежит классу на ограниченном связном открытом множестве Пусть при является решением системы (14.1), таким, что где символом обозначено расстояние в евклидовой метрике, (а) Пусть функция

такова, что при некоторой постоянной

Тогда множество -предельных точек кривой образует периодическое решение системы (14.1), которое имеет характеристических показателей с отрицательными вещественными частями (а потому асимптотически устойчиво в силу теоремы IX.11.1); см. Борг [3]. (b) Докажите, что условие для можно заменить более слабым условием: при с некоторыми постоянными где см. Хартман и Олех [11.