§ 8. Асимптотическое интегрирование. Логарифмическая шкала

Вновь рассмотрим систему вида

в которой

В этом параграфе предполагается, что так что задача Коши для шстемы (8.1) имеет вид

Предположим, что собственные значения матриц таковы, что

при некотором

Теорема 8.1. Пусть система (8.1) эквивалентна системе (8.3) и для собственных значений матриц выполнены оценки (8.5); функция непрерывна и удовлетворяет (8.2) при функция непрерывна при и такова,

Если предполагаем, что Тогда существуют такие что для каждого и любого норма которого существует вектор обладающий следующим свойством: задача Коши (8.3), (8.4) имеет решение, определенное при и такое, что либо

Если в (8.7) вместо поставить то это утверждение сразу же вытекает из леммы если Поскольку линейное преобразование переменных у с постоянными

коэффициентами не влияет на (8.6), но позволяет выбрать сколь угодно малым, отсюда следует теорема 8.1. Утверждения (8.6), (8.7) будут усилены в § 11.

Замечание 1. Из доказательства теоремы 8.1 видно, что если подвергнуть переменные линейным преобразованиям с постоянными коэффициентами и заменить на где некоторая постоянная, то можно считать выполненными соотношения (4.5) и (4.8). После этого ясно, что неравенства (4.16), (4.17) в лемме 4.1 выполняются для всякого решения системы (8.3), удовлетворяющего условиям (8.6) и (8.7).

Теорема 8.2. Пусть выполнены предположения теоремы 8.1 и функция удовлетворяет условию Липшица

Пусть достаточно велико, а величина достаточно мала. Тогда вектор и решение единственны, а функция непрерывна (в действительности удовлетворяет условию Липшица на каждом компактном подмножестве из ее области определения).

Если дополнительно предположить, что гладкая (например, из класса или аналитическая), то функция имеет такую же гладкость. Будем говорить, что функция нескольких комплексных переменных принадлежит классу если она имеет непрерывные частные производные порядка по вещественным и мнимым частям этих переменных. В этой терминологии случаю соответствует

Теорема 8.3. Пусть выполнены условия теорем 8.1, 8.2 и имеет непрерывные частные производные первого порядка по вещественным и мнимым частям компонент вектора Предположим также, что . Тогда функция принадлежит классу Если, кроме того, частные производные функции по вещественным и мнимым частям компонент вектора обращаются в нуль при для всех то частные производные (функции по вещественным и мнимым частям компонент вектора равны нулю при для всех

Доказательства, приведенные в § 9 и 10, показывают, что теоремы 8.2 и 8.3 следуют из теоремы 8.1, которая в свою очередь сразу же вытекает из леммы 4.1. Для приложений сделаем следующее замечание, которое можно вывести из теорем

Замечание 2. Пусть фиксировано и настолько мало, что если в (8.5). Тогда существует такое число что если условие, налагаемое на

заменить более слабым условием

при больших теоремы 8.1-8.3 будут справедливы после замены (8.6), (8.7) одним таким условием:

Заметим, что «условие малости» (8.2) выглядит не очень естественным, если рассматривать систему (8.1) только при малых например если не зависит от В этом случае более естественными являются условия

и, конечно,

Следствие 8.1. Пусть выполнены предположения теоремы 8.1, но условие (8.2) заменено условием (8.11); предположим также, что Тогда утверждения теоремы 8.1 остаются справедливыми. Если, кроме того,

при то утверждения теоремы 8.2 сохраняются в следующем смысле: можно указать такое малое что если достаточно велико и достаточно мало, то существует единственная функция такая, решение задачи Коши (8.3), (8.4) определено при и удовлетворяет неравенству и утверждениям теоремы 8.1; кроме того, функция равномерно удовлетворяет условию Липшица. Если, кроме того, удовлетворяет предположениям о гладкости теоремы 8.3, то справедливы и утверждения этой теоремы.

Это следствие обобщает последнюю часть теоремы касающуюся существования инвариантных многообразий. Остальная часть будет обобщена позднее в § 11.

Следствие 8.1 вытекает из замечания 2 в силу того факта, что (8.11) влечет за собой следующее: для каждого существуют такие, что

и соответственно из (8.12) следует, что

кроме того, если достаточно мало, то и из (8.10), (8.11) вытекает (8.6), (8.7).

Первая часть следствия 8.1 может быть выведена иначе из теоремы 8.1, если сделать замену переменных

где Тогда из (8.1) получаем

заменяется на Чтобы применить теорему 8.1, достаточно доказать существование такой функции что при и

Заметим, что а из (8.11) вытекает, что в качестве такой функции можно взять

Упражнение 8.1. Решение этого упражнения содержит в себе доказательства утверждений теорем 8.1 и 8.2 методом последовательных приближений, а не путем использования следствия 3.1 (и леммы 4.1). С помощью замены переменных (8.14) с подходящим а можно, не теряя общности, предполагать, что Если Решение системы (8.3), удовлетворяющее условию (8.7), то легко видеть, что

при этом предполагается, что таковы, что

Обратно, если решение системы (8.15), удовлетворяющее (8.7), то оно является решением системы (8.3). Покажите методом последовательных приближений, что если выполнены предположения (8.2), (8.8), где при то система (8.15) имеет решение (при достаточно большом малом если удовлетворяющее условию о и условиям (8.6), (8.7). Пусть нулевым приближением служит функция приближение получается, если подставить в правую часть (8.15)

и в левую (см. Коддингтон и Левинсон [2, гл. 13]). Этим доказана теорема существования 8.1 при дополнительном предположении (8.8) и условии Теоремы 8.2 и 8.3 также можно доказать с помощью последовательных приближений, но по существу в §§ 9 и 10 эти теоремы выводятся из теоремы 8.1. (Хотя в настоящем изложении метод последовательных приближений играет второстепенную роль, он все же очень важен в подобных исследованиях.)