§ 4. Краевые задачи Штурма — Лиувилля

Этот раздел является одним из важнейших в теории линейных уравнений второго порядка. Поскольку полное изложение заняло бы много места и к тому же может быть найдено во многих книгах, мы отметим лишь некоторые наиболее существенные моменты этой теории.

Пусть в уравнении

функции вещественны и непрерывны при а комплексный параметр. При заданных вещественных рассмотрим задачу отыскания по возможности нетривиального (т.е. решения уравнения удовлетворяющего краевым условиям

Упражнение 4.1. Покажите, что если не вещественно, то задача (4.2) не имеет нетривиального решения.

Упражнение 4.2. Рассмотрите следующий специальный случай задачи :

Покажите, что эта задача имеет решение только тогда, когда при и что соответствующее решение с точностью до постоянного множителя равно

Далее мы покажем, что результаты упр. 4.2 в специальном случае (4.3) являются типичными для общей ситуации (4.2).

Теорема 4.1. Пусть функции вещественны и непрерывны при а Тогда существует неограниченная последовательность вещественных чисел такая, что (i) задача (4.2) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, если при некотором Если решение задачи то решение единственно с точностью до постоянного множителя и имеет в точности нулей при а для Если то

(iv) Если — комплексное число та существует такая непрерывная функция определенная при что для всякой интегрируемой на отрезке функции уравнение

имеет единственное решение удовлетворяющее условиям

причем

и функция вещественна при вещественных Если и функция интегрируема на то задача имеет решение тогда и только тогда, когда

если - решение задачи то также является решением, и все решения этой задачи имеют такой вид. (vi) Если функции вещественны и выбраны так, что

(а потому определены однозначно с точностью до множителя то множество образует полную ортонормальную последовательность в т. е. если то представляется в виде ряда Фурье

и

Если функция в условиях (iv) или не является непрерывной, то решение уравнения следует понимать так же, как указано в замечании из

Отметим параллельность утверждений относительно разрешимости задачи (4.5), (4.2) и соответствующих утверждений для линейных алгебраических уравнений где симметричная эрмитова -матрица, единичная матрица, векторы. Уравнение и имеет решение и тогда и только тогда, когда является одним из собственных значений матрицы вещественны; если то уравнение имеет единственное решение при любом наконец, если то имеет решение в том и только в том случае, если ортогонально (т. е. всем решениям и уравнения

Доказательство будет лишь намечено; предоставляем читателю восстановить опущенные детали.

(i) и (ii). В силу результата упр. 4.1 достаточно рассмотреть случай вещественных Пусть и решение уравнения удовлетворяющее начальному условию

так что и удовлетворяет первому из двух условий (4.2). Ясно, что задача имеет решение тогда и только» тогда, когда функция и удовлетворяет второму из условий (4.2).

При фиксированном определим непрерывную функцию переменной на равенством

Тогда имеет непрерывную производную и

см. § 2(xv). Из теоремы V.2.1 следует, что решение уравнения (4.13) является непрерывной функцией от на отрезке а Доказательство теоремы сравнения Штурма 3.1 показывает, что возрастает с ростом Не теряя общности, можно предположить, что Заметим, что

Чтобы убедиться в этом, введем новую независимую переменную, определенную равенствами так что уравнение перейдет в уравнение

Если любое число, можно выбрать столь большим, что для Применяя теорему сравнения Штурма 3.1 к (4.15) и уравнению

получаем, что если произвольное, достаточно большое числа, то нетривиальное вещественное решение уравнения (4.15) имеет по крайней мере нулей на -интервале т. е. если достаточно велико в силу леммы 3.1. Проверим теперь, что

В силу леммы Пусть — столь велико, что . Решением уравнения

удовлетворяющим условиям, аналогичным (4.11), где является функция

Аналогом служит функция

При всяком фиксированном

поэтому при где В силу теоремы сравнения Штурма Тем самым доказано (4.16).

Предельные соотношения (4.14), (4.16) и строгая монотонность функции как функции показывают, что существуют такие что

где Кроме того, если Отсюда вытекают утверждения

Чтобы проверить это утверждение, умножим на на вычтем и проинтегрируем по а. т. е. применим тождество Грина (2.10) к функциям .

(iv) См. § 2(x) и упр. 2.1. Найдем и определим как решение задачи (4.1), удовлетворяющее второму из условий (4.2).

(v) Предположим вначале, что задача (4.5), (4.2) имеет решение Применим тождество Грина (2.10) в случае, когда заменено на в (2.8) для того, чтобы получить (4.7).

Обратно, предположим, что выполняется (4.7). Пусть и решение уравнения линейно независимое с так что Тогда функция (2.15) является решением уравнения (4.5). Кроме того, удовлетворяет первому из граничных условий в (4.2), поскольку функция удовлетворяет этому условию; см. упр. 2.1. С другой стороны, соотношения (4.7) и (2.15) показывают, что Поэтому функция является решением уравнения удовлетворяющим краевым условиям (4.2).

(vi) Хотя утверждение (vi) составляет основную часть теоремы 4.1, оно является следствием элементарных теорем о вполне непрерывных самосопряженных операторах в гильбертовом пространстве. Для полноты изложения будет намечено доказательство теоремы о необходимости, и из него будет выведено утверждение Здесь предполагается, что читатель знаком с теорией рядов

Фурье (включая, например, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля и теорему Фишера — Рисса). Поскольку мы стараемся свести до минимума обсуждение вопросов, относящихся к теории гильбертовых пространств, некоторые из определений и результатов, сформулированных ниже, могут включать лишние условия.

Введем следующие обозначения и термины:

где В силу неравенства Шварца Будем говорить, что последовательность функций принадлежащих сходится к если при Такая последовательность называется слабо сходящейся к если последовательность ограничена и при для каждой функции (В последнем определении условие ограниченности последовательности является излишним, но этот факт не будет использоваться ниже.) Подмножество называется линейным многообразием, если Я влечет за собой при любых постоянных Оно называется замкнутым, если условия при при влекут за собой Линейное многообразие из будет называться слабо замкнутым, если из условий при и слабо при вытекает, что (Тот факт, что понятия «замкнутости» и «слабой замкнутости» эквивалентны для линейных многообразий, здесь не используется.)

Лемма 4.1. Пусть последовательность элементов пространства такова, Тогда существуют функция подпоследовательность данной последовательности, такие,

Доказательство. Без потери общности можно предположить, что В этом случае каждой функции соответствует ряд Фурье

где в силу равенства Парсеваля С помощью диагонального процесса Кантора (теорема 1.2.1) можно выбрать такую последовательность целых чисел что

существует предел

Заметим, что

Поэтому согласно теореме Фишера-Рисса, существует такая функция что

Из (4.18) следует, что -если Значит, это верно для любой линейной формы от Для всякого элемента существует такая линейная форма от что величина сколь угодно мала и Отсюда вытекает утверждение леммы.

Лемма 4.2. Пусть самосопряженный линейный оператор, определенный на слабо замкнутом линейном многообразии из и такой, что при всех Тогда для

Выражение линейный оператор на Я» означает, что каждому соответствует единственный элемент и что если при то еда при любых комплексных постоянных Предположение о самосопряженности оператора означает, что для всех

Доказательство. Если комплексное число, то поскольку Выбирая получаем, что Полагая видим, что

Лемма 4.3. Пусть вполне непрерывный самосопряженный линейный оператор на слабо замкнутом линейном многообразии и пусть при некотором Тогда имеет по крайней мере одно (вещественное) собственное значение т. е. существует (вещественное) число и элемент : Ну такие, что

Линейный оператор на называется вполне непрерывным, если условия слабо при влекут за собой при

Доказательство. Из леммы 4.1, полной непрерывности оператора и слабой замкнутости вытекает, что оператор ограничен, т. е. существует такая постоянная С, что для всех удовлетворяющих условию

В силу неравенства Шварца, если Поэтому по всем таким, что существуют и конечны. Поскольку для некоторого из леммы 4.2 следует, что по крайней мере одно из этих чисел отлично от нуля. Пусть для определенности Полагая мы получаем, что следовательно,

Покажем, что существует такой элемент что В самом деле, в найдутся такие элементы что при В силу леммы 4.1 можно предположить, что существует элемент к которому слабо сходится последовательность при и что Так как слабо замкнуто, В силу полной непрерывности оператора имеем при Но Из ограниченности оператора и неравенства Шварца мы заключаем, полагая что

Заметим, что влечет за собой Поскольку имеем так как в противном случае выполнялись бы соотношения при

Чтобы проверить равенство возьмем в качестве любой элемент из удовлетворяющий условиям Пусть для вещественных так что Тогда функция

переменного имеет максимум при и потому Так как можно заменить на отсюда следует, что для всех удовлетворяющих условию В частности, если Отсюда вытекает, что Тем самым доказано равенство и завершено доказательство леммы.

Окончание доказательства утверждения Согласно стандартной теореме теории рядов Фурье, утверждение (vi) неверно тогда и только тогда, когда существуют функции имеющие нулевые коэффициенты Фурье при Предположим, что (vi) не выполняется, и пусть множество всех таких элементов для которых при Тогда слабо замкнутое линейное многообразие в содержащее элементы

Пусть вещественное число, не равное при Тогда (4.6) определяет линейный оператор на Этот оператор является самосопряженным, поскольку

в силу того, что функция вещественна и

Кроме того, вполне непрерывный оператор. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим последовательность слабо сходящуюся при и положим Тогда разность

стремится к при для каждого фиксированного Кроме того, в силу неравенства Шварца

если Следовательно, при по теореме Лебега. (В действительности, в силу теоремы при равномерно на отрезке а так как, очевидно, последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.)

Наконец, заметим, что если то В самом деле, из равенства следует, что в чем легко убедиться, применив тождество Грина (2.10) к Поэтому сужение на слабо замкнутое линейное многообразие определяет вполне непрерывный оператор на

Из и (4.6) видно, что если Поэтому содержит элементы и можно применить лемму 4.3. Пусть где Тогда если из и (4.6) следует, что функция является решением уравнения удовлетворяющим граничным условиям (4.2). В силу утверждения (i) отсюда следует существование неотрицательного целого числа такого, что с некоторой постоянной с Но это противоречит условию при Теорема доказана.

Упражнение 4.3. Пусть вещественные непрерывные функции, определенные на открытом

ограниченном интервале Пусть Пусть уравнение

имеет (вещественное) решение при имеющее не более нулей и такое, что существуют не равные нулю пределы при Покажите, что если то функция является решением уравнения

имеющим не более нулей при а и существуют не равные нулю пределы при Докажите существование на интервале таких положительных непрерывных функций что функции являются решениями дифференциального уравнения порядка:

Упражнение 4.4 (продолжение). (а) Пусть такие же, как в упр. 4.3. Пусть — произвольные числа. Тогда существует единственное множество постоянных такое, что

Используйте индукцию по (для всех систем или упр. IV.8.3. (Этот результат, конечно, применим к (вещественным) функциям теоремы 4.1. Если функции имеют производные достаточно высоких порядков, то интерполяционное свойство (4.22) может быть обобщено, как в упр. Пусть Тогда где не равен нулю, (с) Пусть вещественные числа и Тогда если обращается в нуль в различных точках интервала а если обращается в нуль в различных точках, то в каждой из них эта функция меняет знак.

(d) Каждая вещественная непрерывная функция ортогональная к на (т. е. такая, что при меняет знак по крайней мере раз. При любом выборе постоянных функция стит спип меняет знак не менее раз и не более раз, где