ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ БЕЗ СОПРЯЖЕННЫХ ТОЧЕК

§ 10. Системы без сопряженных точек

В этом параграфе изучаются системы уравнений вида

или, более общо, системы вида

Здесь суть -мерные векторы и суть -матрицы (с вещественными или комплексными элементами), непрерывные на -интервале Наша цель состоит в том, чтобы обобщить некоторые результаты из § 6. Трудность заключается в том, что теоремы Штурма из § 3 не имеют здесь полного аналога.

При изучении систем (10.1) обычно предполагается, что

Если вектор у определяется равенством

то система уравнений (10.1) может быть записана в виде (10.2). где

так что

Предположения (10.3), (10.4) мотивируются следующими соображениями: условие (10.4) позволяет утверждать, что система

(10.1) и эквивалентная система (10.2) являются невырожденными в том смысле, что для задач Коши применимы обычные теоремы существования. Условие (10.3) делает систему (10.1) формально «самосопряженной» в том смысле, что если обозначить через — вектор в левой части (10.1), то независимо от того, равно нулю или нет, справедлива формула Грина:

для любых достаточно гладких функций

В частности, если решения системы (10.1), так что то

Если эта постоянная равна нулю, решения называются сопряженными решениями системы (10.1).

Система (10.1) называется системой без сопряженных точек на если каждое решение обращается в нуль на не более одного раза. Соответственно, система вида (10.2) будет называться системой без сопряженных точек на если для каждого решения вектор обращается в нуль на не более одного раза.

Нам будет удобнее рассматривать вместо (10.2) матричные уравнения

где квадратные матрицы порядка Заметим, что являются решением системы (10.9) тогда и только тогда, когда вектор с является решением системы (10.2) для каждого постоянного вектора с. Поэтому все решения системы (10.2) можно найти, если нам известны два решения системы (10.9), причем

является -матрицей. В действительности, фундаментальная матрица для системы (10.2).

(i) Если решение системы (10.9) и справедливо (10.8), то определяется по а именно:

(ii) Если справедливо (10.7) и решения системы (10.9), то

где постоянная матрица. Это легко проверить, дифференцируя (10.2). Если решения системы (10.9) будут называться сопряженными решениями.

(iii) В частности, если то является постоянной матрицей. Если она равна нулю, то

— эрмитова матрица. В этом случае решение системы (10.9) называется самосопряженным.

(iv) Пусть такое решение системы (10.9), что

на некотором -интервале, и пусть

Рассмотрим «вариацию постоянных»

где решение системы (10.9), удовлетворяющее условию (10.12). Тогда

или в силу (10.15)

Так как из (10.16), (10.17) следует, что

Поэтому, если фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения и

то решения имеют вид

где постоянная матрица; см. следствие IV.2.1. Соответственно, в силу (10.16),

Обратно, легко проверить, что если справедливы соотношения (10.7), (10.8) и (10.14), то равенства (10.19) и (10.11) определяют решение системы (10.9), удовлетворяющее (10.12).

(v) Если при этом самосопряженное решение системы (10.2), так что в (10.15), то и (10.19) сводится к

Соответствующее решение системы (10.2) является самосопряженным тогда и только тогда, когда т. е.

Пусть самосопряженное решение, Перестановка в (10.12) меняет знаки элементов матрицы Поэтому вместо (10.20) мы получим

ПОСКОЛЬКУ

Теорема 10.1. Пусть матрицы непрерывны на Система (10.2) является системой без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда для каждой пары точек произвольных векторов уравнение (10.2) имеет (единственное) решение удовлетворяющее условиям

Доказательство аналогично доказательству теоремы 6.1, и потому мы не приводим его здесь. Оно не зависит от структуры системы (10.2) и в равной степени применимо к системам вида где матрицы непрерывны.

Чтобы не прерывать в дальнейшем доказательства, мы докажем сейчас одну лемму (не связанную непосредственно с дифференциальными уравнениями).

Лемма 10.1 (Ф. Рисс). Пусть эрмитовы матрицы, удовлетворяющие условиям

Тогда существует при

Если две эрмитовы матрицы, неравенство (или означает, что матрица положительно определена (или неотрицательна). Утверждение «существует при означает, что последовательность сходится для каждого фиксированного вектора

Доказательство. Заметим, что если два произвольных вектора, то справедливо обобщенное неравенство Шварца

Для того чтобы доказать его, рассмотрим вектор при вещественных так что

Поскольку в правой части стоит квадратичный многочлен от который неотрицателен при всех вещественных его дискриминант неположителен. Из этого и следует искомое неравенство.

Пусть где так что Тогда из обобщенного неравенства Шварца вытекает, что

Поскольку отсюда следует, что норма матрицы не превосходит 1 и потому

Последовательность чисел при является неубывающей и ограниченной. Следовательно, она сходится, так что вектор мал при больших тип. Таким образом, существует что и требовалось доказать.

Теорема 10.2. Пусть «е-прерывные на матрицы, пусть положительно определена. (i) Если полуоткрытый ограниченный интервал или замкнутая полупрямая, то (10.2) является системой без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда существует самосопряженное решение системы (10.9), такое, что внутри замкнутый ограниченный интервал или открытый интервал, то (10.2) является системой без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда система (10.9) имеет самосопряженное решение такое, на

Доказательство утверждения Пусть для определенности Пусть в (10.10) является фундаментальной матрицей для системы (10.2), так что при В частности, Поэтому и являются самосопряженными решениями системы (10.9), так что (10.13) и аналогичные соотношения для справедливы при Общее решение системы (10.2), равное нулю при задается формулами для произвольного вектора с. Если система (10.2) является системой без сопряженных точек на то при В противном случае существовал бы вектор такой, что решение обращалось бы в нуль при и при Но тогда поскольку мы имели бы

Обратно, пусть самосопряженное решение системы (10.9), такое, что при Определим решение системы (10.9) из равенства (10.20), где Тогда Поскольку матрица а значит и положительно определена, отсюда следует, что при Ясно, что если решение системы (10.2), причем обращается в нуль при то оно обязательно имеет вид не обращается в нуль при

Остается показать, что если решение системы (10.2) и то при Для этого достаточно доказать, что если то существует такое самосопряженное решение системы (10.9), что при Пусть

так что по формуле, аналогичной (10.20), является самосопряженным решением системы (10.9). Поскольку В положительно определена, множитель стоящий после в последней формуле, отрицательно определен при Поэтому при В силу соотношения, аналогичного (10.21),

Следовательно,

Поскольку первый множитель отрицательно определен при второй множитель (являющийся матрицей, обратной к первой) отрицательно определен. Поэтому матрица

положительно определена при возрастает при убывании (в том смысле, что при Из леммы 6.1 вытекает, что существует

При положим

а это можно записать также в виде

Отсюда в силу (10.20) следует, что самосопряженное решение системы (10.9). Ясно, что при Этим завершается доказательство для случая

Доказательство утверждения Если замкнутый ограниченный интервал то мы можем расширить область определения непрерывных матриц на отрезок так, чтобы и матрица была положительно определенной. Ясно, что если достаточно мало, то система (10.2) является системой без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда она является системой без сопряженных точек на Поскольку а а доказательство в случае вытекает из уже проведенного доказательства для

Пусть множество открыто. Рассуждение, проведенное в случае показывает, что если система (10.9) имеет самосопряженное решение на то (10.2) является системой без сопряженных точек на Обратное утверждение справедливо в силу результата упр. 10.6.

Рассмотрим функционал

где матрицы определены согласно (10.6). Будем говорить, что вектор-функция определенная на подинтервале принадлежит классу (или если абсолютно непрерывна, а ее производная принадлежит на отрезке непрерывно дифференцируема и вектор-функция также непрерывно дифференцируема при а Если то, интегрируя по частям (интегрируя и дифференцируя получаем

Если обозначить через — вектор в правой части равенства (10.1) независимо от того, равен он нулю или нет, то

Теорема 10.3. Пусть матричные функции непрерывны на а положительно определенная матрица. Система (10.2) является системой без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого ограниченного интервала лежащего в функционал положительно определен на (или на т. е. каждой функции из (или из тогда и только тогда,

Доказательство утверждения «только тогда» аналогично первой части доказательства теоремы 6.2. Предположим, что система (10.2) является системой без сопряженных точек на Тогда, если существует самосопряженное решение системы (10.9), такое, что на

Для данной функции определим положив Используя соотношение аналогичное (10.5), и соотношение аналогичное (10.1), мы видим, что подинтегральное выражение в (10.22) равно

Поскольку это подинтегральное выражение может быть представлено в виде

Кроме того, второе слагаемое равно поскольку решение является самосопряженным и удовлетворяет (10.13). Поэтому подинтегральное выражение в (10.17) равно следовательно,

если и Поскольку матрица положительно определена, также положительно определена. Следовательно, тогда и только тогда, когда

Доказательство утверждения «тогда» совпадает с доказательством соответствующей части теоремы 6.2 и может быть опущено.

Упражнение 10.1 (Якоби). Обозначим через множество вектор-функций на для которых

непрерывна при (iii) отрезок допускает такое разбиение (зависящее от что вектор-функции непрерывно дифференцируемы на каждом отрезке при Очевидно, Пусть матрицы и будут такими же, как в теореме 10.3, а не является ограниченным замкнутым интервалом. Покажите, что система (10.2) является системой без сопряженных точек на тогда и только тогда, когда для всех и всех

Упражнение 10.2. Пусть -матрицы непрерывны при на и таковы, что эрмитовы матрицы; если неравенство означает, что положительно определенная матрица, а неравенство например, означает, что для всех постоянных векторов ; наконец, (iii) пусть система является системой без сопряженных точек на Тогда система есть система без сопряженных точек на

Если функции принадлежат на можно ввести «скалярное произведение»

В этих обозначениях равенство (10.24) может быть переписано так: если Соответственно из (10.25) при получаем, что

где

единственная положительно определенная эрмитова матрица, такая, что и функция непрерывна на см. упр. XIV. 1.2. Формуле (10.26) соответствует билинейный функционал

Тогда формально На самом деле это верно в следующем смысле: функционал (10.27) можно представить в виде

поскольку в чем легко убедиться, если продифференцировать тождество Следовательно, формально

сопряженным к является оператор

(см. § IV.8(viii))), т. е.

Следствие 10.1. Пусть матрицы такие же, как в теореме 10.3. Пусть система (10.9) имеет такое самосопряженное решение что на Тогда т. е. если

то

каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции такой, что функция также непрерывно дифференцируема на

Это утверждение можно вывести из (10.28) или, что еще легче, проверить простым дифференцированием (используя соотношения

Теорема 10.4. Пусть матрицы непрерывны на пусть матрица положительно определена. Пусть система (10.2) является системой без сопряженных точек на такое решение системы (10.9), что при для некоторого Пусть матрица определена соотношением (10.18). Тогда матрица

невырожденна при существует

где зависит от и матричной функции

Если в теореме то решение системы (10.9) будет называться главным решением системы (10.9). Можно показать, что главное решение обязательно является самосопряженным. В этом случае и равенство означает, что

в том смысле, что

равномерно для всех единичных векторов с. (Сравните (10.36), где определением (6.11) главного решения в § 6.)

Теорема 10.5. Пусть такие же, как в теореме Система (10.9) имеет главное решение Другое решение является главным тогда и только тогда, когда постоянная невырожденная матрица. (iii) Пусть решение системы (10.9). Постоянная матрица Ко в (10.12) является невырожденной тогда и только тогда, когда для близких и

причем в этом случае матрица в (10.35) является невырожденной. Доказательства теорем 10.4 и 10.5 проводятся одновременно.

Доказательство теоремы 10.5 (i) по существу содержится в доказательстве теоремы 10.2 (i). Так как система (10.2) является системой без сопряженных точек на существует самосопряженное решение системы (10.9), такое, что при Пусть а и

Тогда самосопряженное решение системы (10.9), при и

в силу (10.21). Поэтому

Как и при доказательстве теоремы отсюда следует, что существует

если матрица определяется следующим образом:

Предел является невырожденным, поскольку и матрица положительно определена при Определим

или, эквивалентно,

Следовательно, самосопряженное решение системы (10.9) и при Поэтому в силу (10.21)

Значит,

и потому при

такчто

Поэтому главное решение системы (10.9); с (10.35).

Доказательство теоремы 10.4. Пусть решение системы (10.9), такое, что при Тогда матрица в (10.34) определена при

Покажем сначала, что при Пусть

Это определяет решение системы (10.9); см. (10.19). Предположим, что при некотором

тогда существует постоянный вектор такой, что вектор-функция обращается в нуль при Поскольку система (10.2) является системой без сопряженных точек на У, отсюда следует, что Поэтому Так как матрица является невырожденной, мы приходим к противоречию, и потому при

Покажем теперь, что существует предел (10.35). Пусть — только что построенное главное решение системы (10.9), так что определяется по (10.42) через самосопряженное решение при а Пусть Рассмотрим функцию

Ясно, что где решение системы (10.9), поскольку можно представить в виде

с (10.19). Отсюда следует, что если постоянная матрица

то, положив по аналогии с (10.19), получаем

Поскольку при мы видим, что выражение в фигур скобках обращается в нуль при Отсюда

Из (10.42) и (10.44) ясно, что при следовательно, где

Итак, существует предел

Этим доказана теорема 10.4.

Доказательство теоремы Пусть главное решение системы Пусть — такое число, что при и предел в (10.35) равен 0. В силу (10.48), тогда и только тогда, когда в (10.47). Поскольку решение является самосопряженным, отсюда следует, что

Потому равенство влечет за собой

Пусть Тогда решение удовлетворяет начальным условиям

при Поэтому (10.49) справедливо для всех Этим доказана утверждение

Доказательство теоремы Пусть решение системы (10.9) и Ко определено согласно (10.47). Тогда

Поскольку (10.36) выполняется после замены на из (10.36) следует, что если Ко — невырожденная матрица, то и невырожденна при близких к В этом случае

и (10.37) вытекает из (10.36), где заменено на

Обратно, если матрица невырожденна при близких к и справедливо (10.37), то последняя формула показывает, что Ко также невырожденна. Поэтому невырожденна в силу (10.48). Этим завершается доказательство теоремы 10.5.

Упражнение 10.3. Сформулируйте и докажите аналог следствия 6.3.

Упражнение 10.4 (аналог (6.111) из теоремы 6.4). Пусть выполнены условия теоремы 10.5. Пусть самосопряженное решение системы (10.9), такое, что для близких к и предел в (10.35) является невырожденной матрицей. (Заметим, что Пусть с постоянный вектор и с — решение системы (10.1). Тогда

Упражнение 10.5 (аналог упражнения 6.5). Пусть выполнены условия теоремы решение системы (10.9), удовлетворяющее условиям с теоремой 10.1. Тогда существует при и этот предел является главным решением.

Упражнение 10.6. Пусть открытый интервал, непрерывны на и матричная функция положительно определена. Пусть система (10.2) является системой без сопряженных точек на Пусть правый конец интервала Пусть главное решение системы (10.9) на Тогда на У.

Упражнение 10.7 (аналог утверждения (iii) теоремы 6.4). Пусть такие же, как в теореме 10.4. Пусть главное решение системы (10.9) и при

Пусть самосопряженное решение системы (10.9), удовлетворяющее условию Пусть так что Тогда (т. е. для всех векторов тогда и только тогда, когда при