§ 14. Потоки на торе

Будем рассматривать тор как квадрат в -плоскости, в котором точки или на противоположных сторонах квадрата считаются отождествленными, или, что более удобно, будем рассматривать всю -плоскость , в которой пары точек отождествляются в том и только в том случае, когда обе разности являются целыми числами.

Рассмотрим на торе непрерывный поток

так что функции непрерывны на множестве — есть группа гомеоморфизмов -плоскости на себя. Более того, поскольку точки на торе отождествляются, то

(Первая строчка означает, например, что если точка перешла в то ее орбита просто переносится на 1 в направлении оси Групповое свойство эквивалентно тому, что

Предположим, что имеют непрерывные производные по Тогда удовлетворяют равенству

в силу (14.3) являются решением задачи Коши

Если, например, то из теоремы III.7.1 следует, что задача (14.5) — (14.6) имеет единственное решение

Лемма 14.1. Пусть тор и (14.1) — поток на класса (или непрерывный поток, такой, что имеют непрерывные частные производные по Предположим, что не имеет стационарных точек (или что Тогда существует жорданова кривая класса на которая трансверсальна к потоку. Кроме того, трансверсальная кривая не может быть стянутой в точку по так что не ограничивает -клетки подмножества тора, гомеоморфного диску).

Например, пусть так что система (14.5) имеет те же самые орбиты, что и уравнение

Здесь каждая окружность на есть трансверсальная кривая

Доказательство. Рассмотрим дифференциальные уравнения ортогональных траекторий

Пусть есть решение системы (14.8), так что поскольку Кроме того, (или классу так как

Предположим сначала, что есть замкнутая кривая на т. е. что существует наименьшее число и целые такие, что Ясно, что является трансверсалью.

Если кривая является на незамкнутой, то ее полутраектория для рассматриваемая как путь на имеет по крайней мере одну -предельную точку, скажем Точка содержится в произвольно малом

криволинейном прямоугольнике на которого дуги и суть дуги решений системы (14.5), а и -дуги решений системы (14.8). Точка находится внутри для некоторого большого и выходит из него в некоторой точке на (или при дальнейшем изменении например в первый раз при затем она встречает (или при некотором значении впервые в точке Ясно, что если прямоугольник достаточно мал, то в найдется дуга которая вместе с дугой о (0 Для составит трансверсаль класса

Допустим, что трансверсаль на может быть стянута в точку. Тогда она имеет на -плоскости образ являющийся жордановой кривой класса которая ограничивает открытое множество Ясно, что точки на являются одновременно или точками входа, или точками выхода для области по отношению к системе Тогда индекс по отношению к (14.5) равен —1 или см. § 2. Значит, по следствию 3.1 содержит по крайней мере одну стационарную точку, что противоречит предположению. Лемма доказана.

В последующем мы будем предполагать, что есть тор, а поток на класса не имеющий стационарных точек.

Пусть трансверсальная (жорданова) кривая на После применения подходящего -гомеоморфизма плоскости можно считать, что окружность является трансверсальной кривой. В частности, при Без потери общности можно предположить, что

так как в противном случае можно заменить на

Пусть то — некоторая точка из предположим, что полуорбита проходящая через встречает снова при некотором Пусть есть точка этой первой встречи. Другими словами, если то существует единственное такое, что [см. (14.9)], и потому Положим Множество таким образом определенных точек является открытым и периодическим (в том смысле, что тогда и только тогда, когда Будем предполагать, что каждая орбита встречается с и функция определена для всех

Предположение выполняется, например, если не обращается в нуль [так что система (14.5) «эквивалентна» уравнению (14.7)] или если нет замкнутых орбит.

Упражнение 14.1. Проверьте это утверждение.

Функция обладает следующими свойствами: строго возрастает; (ii) , так что имеет период Свойство (i) следует из того, что две орбиты или тождественно совпадают, или не имеют ни одной общей точки. Свойство (ii) вытекает из последней строчки формулы (14.2), так как если то Доказательство свойства (iii) аналогично доказательству свойства (12.3) в § 12, но несколько проще последнего.

Исходя из результатов § 13, мы получим теперь некоторые теоремы о потоках на торе. Назовем число а из леммы 13.1 для функции числом вращения потока Тогда из леммы 13.2 вытекает следующая

Теорема 14.1. Пусть поток класса на торе удовлетворяющий предположениям Тогда для существования периодической (замкнутой) орбиты необходимо и достаточно, чтобы число вращения а потока было рациональным.

Упражнение 14.2. Пусть поток такой же, как в теореме 14.1, и пусть число вращения а рационально. Покажите, что каждая полуорбита на есть или жорданова кривая, или спираль, стремящаяся к множеству которое в этом случае является жордановой кривой.

Из теорем 13.2 и 13.4 вытекает

Теорема 14.2. Пусть поток класса на торе удовлетворяющий предположениям и пусть его число вращения а иррационально. Тогда является минимальным множеством (и каждая полуорбита плотна в

Если минимальное множество, то поток называется эргодическим.

Замечание. Теорема 14.2 не верна, если условие ослабить следующим образом: Ситуация еще более ухуд, шается, если предположить только, что поток непрерывен и имеют непрерывные частные производные по хотя для других приведенных выше результатов в этом случае их аналоги имеют место. Это видно из следующего упражнения, являющегося обобщением результатов упр. 13.3.

Упражнение 14.3. Пусть точки отождествлены, так что плоскость превращается в тор а линия в окружность Пусть произвольное совершенное нигде не плотное множество на Тогда существует непрерывная функция (х, такая, что задачи Коши для (14.7) имеют единственные решения, и если есть поток на определяемый

уравнением (14.7), и соответствующий гомеоморфизм на то (число вращения а иррационально и) множество является единственным непустым минимальным множеством на Существует функция класса такая, что соответствующий поток класса имеет иррациональное число вращения а, но не является эргодическим не является минимальным множеством); см. Данжуа [1]. Простейший поток на задается соотношениями

он порождается дифференциальными уравнениями

где а — постоянная (совпадающая с числом вращения потока). Рассмотрим поток вида

порождаемый, например, системой дифференциальных уравнений вида Функция соответствующая потоку (14.11), равна

Изучая орбиты потока (14.11), достаточно рассмотреть только т. е. орбиты, начинающиеся при в точках оси у. Действительно, орбита, начинающаяся в точке пересекает х-ось при так что

поскольку Проверим, что функция

для — Для этой цели заметим сначала, что так что функция

в силу леммы 13.1. Если где то обладает тем свойством, что

Кроме того из равенства следует, что если где то

где Теперь видно, что (14.14) следует из этих двух последних соотношений. Утверждение (14.14) в эргодическом случае можно значительно усилить. В этом и состоит следующий результат.

Теорема 14.3 (Боль). Пусть непрерывный эргодический поток вида (14.11), заданный на торе и имеющий (иррациональное) число вращения а. Тогда существуют непрерывные функции такие, что

и

Заметим, что для фиксированного у (или ) функция является почти периодической по (или периодической по

Доказательство. Пусть функция, определенная в теореме 13.3, и пусть функции периода 1, определяемые соотношениями

Сделаем замену переменных Тогда принимает вид

где

По аналогии с (14.2) имеем

а по групповому свойству отображения (ср. с (14.3))

Введем краткие обозначения

Заметим, что в силу равенства и теоремы 13.3. Поэтому из (14.20) — (14.22) вытекает, что

Значит, непрерывная функция

имеет период 1 относительно при фиксированном Запишем последнее соотношение так:

В силу (14.19), так что, используя (14.17), получаем

Следовательно, из (14.23)

где определяется равенством

Ясно, что удовлетворяет второй части соотношения (14.15).

Наконец, (14.24) и первая часть формулы (14.17) дают (14.16). Теорема доказана.

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)