ЧАСТЬ II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 3. Линейные задачи

В этой части настоящей главы мы будем изучать граничные задачи для систем уравнений второго порядка. Рассмотрим сначала линейную неоднородную систему вида

и соответствующую однородную систему

для -мерного вектора (с вещественными или комплексными компонентами). Задача заключается в нахождении решений,

удовлетворяющих граничным условиям

при заданных Для неоднородной системы (3.1) условия (3.3) без потери общности можно заменить условиями

так как если в качестве новой зависимой переменной ввести то система (3.1) переходит в другую систему того же вида с замененной на

Фактически теория граничной задачи (3.1), (3.4) содержится в § 1. Чтобы убедиться в этом, перепишем (3.1) в виде системы первого порядка

где есть -мерный вектор, и есть -матрица:

Граничные условия (3.4) можно записать так:

где постоянные -матрицы:

Заметим, что ранг

Матрицы можно брать не в виде (3.8). а в более общем виде; в этом случае условия (3.4) заменятся условиями вида

где постоянные -матрицы, такие, что матрица

имеет ранг Для простоты мы ограничимся рассмотрением матриц вида (3.8) и соответственно граничных условий (3.4). Из леммы 1.1 вытекает следующая

Лемма 3.1. Пусть непрерывные матрицы на пусть есть -матричное решение задачи

Система (3.2) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее условию (3.4) в том и только том случае, когда матрица вырожденная. точно, линейно независимых решений задачи (3.2), (3.4) совпадает с числом линейно независимых векторов с, удовлетворяющих уравнению

Соответствующим следствием из теоремы 1.1 является

Теорема 3.1. Пусть непрерывны на Система (3.1) имеет решение удовлетворяющее условию (3.4) для каждой функции непрерывной на тогда и только тогда, когда задача (3.2), (3.4) не имеет нетривиального решения. В этом случае решение единственно и существует постоянная К, такая, что

Упражнение 3.1. Докажите теорему 3.1.

Однородная сопряженная к (3.5) система имеет вид она, однако, не эквивалентна системе второго порядка, если не наложены дополнительные условия на В или Простейшее условие такого типа заключается в требовании непрерывной дифференцируемости В этом случае однородная сопряженная система эквивалентна системе

а соответствующая неоднородная система такова:

(Фактически условие дифференцируемости можно устранить, записав члены, содержащие в виде и интерпретируя (3.11) и (3.12) как системы первого порядка для -мерного вектора

Для того чтобы получить соответствующую формулу Грина, умножим (3.1) скалярно на — на произведем вычитание и проинтегрируем от до Тогда

Значит, если удовлетворяет (3.4), а — условиям

то

так что граничные условия (3.4) и (3.14) являются сопряженными.

Упражнение 3.2. Проверьте, что (3.2), (3.4) и (3.11), (3.14) являются сопряженными граничными задачами в смысле § 1.

Лемма 3.2. Пусть матрица непрерывна, непрерывно дифференцируема на отрезке Тогда задача (3.2), (3.4) имеет то же самое число линейно независимых решений, что и сопряженная задача (3.11), (3.14).

Наконец, из теоремы 1.2 следует

Теорема 3.2. Пусть матрица непрерывна, непрерывно дифференцируема на и пусть они таковы, что задача (3.2), (3.4) имеет линейно независимых решений. Пусть суть линейно независимых решений задачи (3.11), (3.14). Пусть непрерывна на Тогда задача (3.1), (3.4) имеет решение в том и только в том случае, когда

Следующая теорема единственности не имеет аналога в § 1.

Теорема 3.3. Пусть непрерывные -матрицы на такие, что

для всех векторов [т. е. пусть эрмитова часть матрицы является неотрицательно определенной). Пусть непрерывна на Тогда система

имеет самое большее одно решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям

Замечание 1. Теорема 3.3 остается справедливой, если условие (3.17) ослаблено до условия

для всех векторов см. упр. 3.3.

Доказательство. Так как разность двух решений данной граничной задачи является решением задачи

то достаточно показать, что есть единственное решение задачи (3.20).

Пусть решение задачи (3.20). Положим Тогда так что Легко проверить, что

Значит,

Поэтому из (3.17) вытекает, что Так как граничные условия в (3.20) означают, что мы получаем, что для Теорема 3.3 доказана.

Упражнение 3.3. (а) Покажите, что если существует вещественная функция такая, что уравнение

не имеет решения с двумя нулями на отрезке (например, и если (3.17) ослаблено до условия

для всех векторов то утверждение теоремы 3.3 остается справедливым. (b) Пусть существует непрерывно дифференцируемая -матрица такая, что

для всех векторов где Тогда справедливо утверждение теоремы 3.3. (Заметим, что (3.23) сводится к (3.17), если так что утверждение (b) обобщает теорему 3.3, но не часть (а) этого упражнения.)

Замечание 2. Если имеет непрерывную производную, то из (3.20) следует, что в том и только в том случае, когда является единственным решением задачи

см. лемму 3.2. Поэтому утверждение теоремы 3.3 справедливо, если в условиях (3.17), (3.22) и (3.23) заменены соответственно на и