Глава XIV. Монотонность

В этой главе излагаются различные результаты, связанные только тем обстоятельством, что либо в предположениях, либо в утверждениях, либо при их доказательстве существенно используется понятие монотонности.

В части I рассматриваются преимущественно линейные системы дифференциальных уравнений. Большинство теорем этой части существенно зависит от того, что некоторые функции от частных решений являются монотонными. Часть результатов в сочетании с теоремой Хаусдорфа — Бернштейна позволяет утверждать, что некоторые решения могут быть представлены в виде преобразования Лапласа — Стильтьеса от монотонных функций.

В части II рассматривается одна специальная задача. Она связана с некоторой сингулярной краевой задачей для нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка, возникшей в гидромеханике (теория пограничного слоя).

В части III изучается устойчивость в целом тривиального или периодического решения нелинейной автономной системы. Интересной особенностью доказательства теоремы 14.2 является следующее: некоторая -мерная задача сводится в ней по существу к двумерной благодаря тому, что при каждом значении времени рассматривается только однопараметрическое семейство решений.

ЧАСТЬ I. МОНОТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

§ 1. Большие и малые решения

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

для вектора с вещественными или комплексными компонентами при Обозначим через евклидову норму

В этом параграфе будут изучаться такие системы (1.1), у которых для каждого решения или существует конечный предел

или существует

(Например, для выполнения условий (1.30) или достаточно, чтобы эрмитова часть матрицы была соответственно неположительно или неотрицательно определенной при при этом является невозрастающей или неубывающей функцией от соответственно.)

Если для всех решений справедливо (1.30) [или ( то естественно поставить вопрос о существовании решения удовлетворяющего условию

Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.

Теорема Пусть есть -матрица, элементами которой являются (комплексные) непрерывные функции при такая, что для каждого решения системы (1.1) выполняется (1.30) [или ]. Необходимое и достаточное [или достаточное] условие для того, чтобы система (1.1) имела решение удовлетворяющее (1.40) [или ( состоит в следующем:

Хотя условие (1.50) необходимо и достаточно для существования решения удовлетворяющего (1.40), условие не является необходимым для существования решения, удовлетворяющего Уравнение второго порядка при имеет линейно независимые решения см. упр. XI.1.1 (с). Таким образом, если это уравнение записать в виде системы (1.1) для двумерного вектора то каждое решение будет таким, что при Но для этой системы так что условие не выполняется.

Доказательство теоремы В этом доказательстве под словом «предел» подразумевается «конечный предел». Поскольку мы предположили, что (1.30) выполняется для каждого решения, для любой пары решений системы (1.1) должен существовать предел скалярного произведения при Это

вытекает из соотношений

где

Пусть фундаментальная матрица системы (1.1). Поскольку элементы матрицы являются функциями, комплексно сопряженными к скалярным произведениям некоторых пар решений системы (1.1), отсюда следует, что существует при В частности, имеет предел при

Если с — произвольный постоянный вектор, то общее решение системы (1.1) имеет вид и

Поэтому

Так как матрица С эрмитова и неотрицательна, равенство может выполняться для в том и только том случае, когда (Заметим, что для эрмитовой матрицы С минимум при совпадает с ее наименьшим собственным значением.) Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда Поэтому система (1.1) имеет решение удовлетворяющее (1.40), в том и только том случае, когда

В силу теоремы IV. 1.2

Отсюда вытекает утверждение теоремы 1.10. Упражнение 1.1. Докажите теорему

Следующая теорема касается линейных систем уравнений второго порядка

для вектора

Теорема Пусть элементами квадратной матрицы порядка являются непрерывные при комплексные функции, причем эрмитова положительно определенная матрица, монотонно зависящая от (т. е.

в том смысле, что матрица является неположительно [или неотрицательно] определенной). Тогда, если решение системы (1.7),

Если, кроме того,

то система (1.7) обладает парой решений таких, что

В случае, когда уравнения (1.7) представляют собой уравнения Эйлера — Лагранжа, описывающие движение механической системы, выражение в (1.10) по существу является «энергией». Первая часть теоремы означает, что если положительно определена и монотонна, то «энергия» монотонна вдоль каждого решения. Однако не удается выяснить, будут ли решения линейно независимыми. Для одномерного случая эти теоремы приведены в § 3. При их доказательстве используются некоторые результаты, касающиеся эрмитовых положительно определенных матриц, которые содержатся в следующем упражнении.

Упражнение 1.2. Пусть А — эрмитова положительно определенная матрица, (а) Докажите, что существует эрмитова определенная матрица которая является квадратным корнем из т. е. Докажите, что матрица единственна, (с) Докажите, что если непрерывно дифференцируемая функция от то непрерывно дифференцируема.

Доказательство теоремы Предположим вначале, что функция непрерывно дифференцируема.

Запишем (1.7) в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка для -мерного вектора где

Мы получим систему вида

Ввиду (1.14) ясно, что системы (1.7) и (1.15) эквивалентны. Квадрат евклидовой длины -мерного вектора решения системы (1.15) равен

Дифференцируя по получаем или в силу (1.15)

лоскольку матрица и ее производная эрмитовы. Дифференцируя тождество приходим к соотношению или

Отсюда

Поскольку или когда соответственно не возрастает или не убывает, неравенство вытекает из (1.16) и

Чтобы проверить запишем (1.7) в виде системы первого порядка для вектора где

Эта система имеет вид

Квадрат (евклидовой) длины вектора равен

Производная функции вдоль решения системы (1.19) равна

так что в силу (1.17)

Поэтому следует из (1.20) и Этим доказана первая часть теоремы.

Отсюда следует, что квадраты евклидовых длин решений систем (1.15) и (1.19) имеют пределы при Существование решений системы (1.7), обладающих указанными свойствами, мы докажем, применяя теорему к системам (1.15), (1.19).

Пусть след матрицы коэффициентов системы (1.15). Тогда равно следу матрицы Поэтому

Покажем, что

при Для этого достаточно рассмотреть значения близкие к Если умножить на положительную постоянную, обе части равенства (1.22) не изменятся. Поэтому можно предположить, что существуют такие постоянные что для всех векторов у и близких к В частности, Определим матрицу с помощью сходящегося ряда

[по аналогии с см. § IV.6. Эти ряды можно дифференцировать почленно. Так как

для всякой пары матриц, мы имеем

Это равенство можно записать в виде

поскольку

Поэтому в силу (1.21)

Легко проверить с помощью (1.23), что если при фиксированном является собственным значением матрицы соответствующий собственный вектор, то

Поэтому является собственным значением матрицы а у — соответствующий собственный вектор. Следовательно, если, собственные значения (эрмитовой) матрицы то собственные значения (эрмитовой) матрицы, Таким образом,

и (1.22) следует из (1.24).

Итак,

Таким образом, существование решения в теореме вытекает из теоремы

Если — след матрицы коэффициентов в системе (1.19), то Поэтому и существование решения в теореме вытекает из теоремы

Теорема доказана нами при дополнительном предположении о том, что имеет непрерывную производную. Если это условие не выполнено, матрицу хможно аппроксимировать последовательностью гладких матричных функций каждая из которых удовлетворяет предположениям теоремы Аппроксимации можно выбрать так, чтобы матрицы были «малы», а решения систем «близки» к решениям системы (1.7); см. § Х.1. Теорема доказывается теперь с помощью перехода к пределу.

Упражнение 1.3. Пусть матрица удовлетворяет условиям теоремы а матрица непрерывна при Рассмотрим систему

(a) Утверждение остается справедливым, если дополнительно к предположить, что [или (Если непрерывно дифференцируема, то и это условие на матрицу можно заменить одним условием: [или Аналогично, утверждение о существовании решения остается справедливым, если заменить условием

(b) Утверждение будет справедливым, если дополнительно к предположить, что Утверждение о существовании также остается справедливым, если заменить условием