§ 7. Функции Грина

Обозначим через характеристическую функцию отрезка что

Аналогично, обозначим через характеристическую функцию полупрямой так что

Банахово пространство функций на мы будем называть тощим в точке если из того, что и вытекает следующее: Так как на то свойство «быть тощим в точке означает, что множество функций из , обращающихся в нуль вне отрезков плотно в

Пусть банахово пространство, более сильное, чем Пусть, как и выше, есть подпространство пространства У, дополнительное к Пусть — проекция пространства на аннулирующая есть проекция на аннулирующая Если в фиксирован базис, то проекции можно представить с помощью матриц.

Пусть фундаментальная матрица для (6.1) на причем Определим для (матричную) функцию следующим образом:

При фиксированном функция непрерывна на за исключением точки где она имеет левый и правый пределы, соответственно равные и

Теорема 7.1. Пусть локально интегрируема на Предположим, что банаховы пространства сильнее, чем пространство точке является тощим и обладает следующим свойством: если — непрерывные (вектор-)функции, отображающие и вблизи (т. е. за исключением некоторого отрезка то влечет за собой Пара является допустимой для (6.1) в том и только в том случае, когда для каждого существует в

причем этот предел существует равномерно на каждом компактном интервале из и является единственным решением уравнения (6.1) с .

Доказательство. Необходимость. Пусть

Тогда соотношение (7.2) принимает такой вид

где интеграл существует как интеграл Лебега для каждого фиксированного так как ограничена на интегрируема на В силу первого из соотношений (7.1) «вклад» части в (7.3) равен

и

Отсюда в силу второго из соотношений (7.1) равенство (7.3) принимает такой вид:

где

Согласно следствию является решением уравнения (6.1), где заменено на

Добавляя к (7.4) интеграл от до а и вычитая его, нетрудно получить, что

Отсюда

Значит, для функция совпадает с решением однородного уравнения (6.2). Так как начальная точка этого решения принадлежит то из предположения теоремы о свойстве пространства следует, что

Так как согласно (7.5), то отсюда следует, что — единственное решение уравнения (6.1) (в котором удовлетворяющее условию Значит, по лемме

Пусть Тогда, поскольку пространство в точке является тощим, имеем

Значит, в существует при Кроме того, Так как оператор по лемме 6.2, замкнут, то является -решением уравнения (6.1). Из доказательства леммы 6.3 видно, что причем сходимость равномерна на компактных интервалах из Отсюда Тем самым необходимость доказана. Достаточность доказывается легко.

Следствие 7.1. Пусть — банаховы пространства класса В — пространство, сопряженное к см. § XIII.9.

Для того чтобы пара была допустимой, i) необходимо», чтобы фиксированном (и потому интегралы в (7.2) являются интегралами Лебега); ii) вела пространство В в точке тощее, то необходимо и достаточно, чтобы соотношение (7.2) определяло ограниченный оператор из достаточно, чтобы где вела то необходимо и достаточно, чтобы

Упражнение 7.1. Докажите это следствие.