§ 3. Редукция к системам меньшего, порядка

Если известны линейно независимых решений системы (1.1), то нахождение остальных ее решений может быть сведено к решению некоторой однородной линейной системы из дифференциальных уравнений. Простейшие формулы, по которым осуществляется это сведение, являются, однако, «локальными», т. е. применимыми лишь в некоторых подинтервалах отрезка и изменяющимися при переходе от одного подинтервала к другому.

Пусть есть -матричное решение уравнения (1.4) Пусть нам дана некоторая точка Перенумеруем компоненты вектора у так, что если и

где есть некоторая -матрица, то Обозначим через произвольный Подинтервал из содержащий точку и такой, что на нем А теперь рассмотрим -матрицу

где единичная -матрица. Очевидно, что для Простые вычисления показывают, что является матрицей вида

где через обозначена следующая -матрица:

Заметим, что

Произведем в системе (1.1) замену переменных тогда (2.2) дает нам (при дифференциальное уравнение Так как правая часть уравнения (2.2) при имеет вид то отсюда в силу (3.2) и (3.5) получаем, что

Пусть — квадратные -матрицы, такие, что

далее, пусть

где некоторые -мерные векторы соответственно. Тогда из (3.3) и (3.8) видно, что система (3.6) распадается на две системы:

Заметим, что (3.10) представляет собой линейную однородную систему относительно -мерного вектора и что вектор получается в квадратурах, если известен вектор В системе (3.10) матрица задается формулой (3.4). Очевидно, что сведение системы (1.1) к (3.10) справедливо только на том отрезке где матрица является невырожденной. Полученный результат можно сформулировать в виде следующей леммы.

Лемма 3.1. Пусть некоторое -матричное решение уравнения (1.4) на отрезке такое, что если оно представлено в виде (3.1), то не обращается в нуль на некотором отрезке Тогда замена переменных (2.1), где определяется по формуле (3.2), сводит систему (1.1) на отрезке к системе (3.9) — (3.10), в которой матрицы задаются соответственно формулами (3.7) и (3.4).

Приложение. Рассмотрим систему (1.1), в которой элементы матрицы удовлетворяют на отрезке условиям

Легко проверить, что в этом случае решение системы (1.1) известно, если известна его первая компонента

Следствие 3.1. Пусть матрица удовлетворяет на условию (3.11), и пусть система (1.1) имеет решений таких, что для и

Тогда система (1.1) эквивалентна одному дифференциальному уравнению порядка для компоненты вида

где

причем

Доказательство. Мы будем проводить доказательство, применяя последовательно раз процесс, описанный в лемме 3.1, при Введем обозначения:

Покажем, что стандартная формула для миноров «присоединенного определителя» приводит к следующему соотношению:

Чтобы убедиться в этом, условимся сначала, что некоторый символ (например, или обозначает по смыслу или матрицу или ее определитель. Пусть алгебраическое дополнение -го элемента -матрицы В частности, Рассмотрим произведение определителей где

Тогда С другой стороны, перемножая матрицы, получаем

Два последних соотношения и дают нам (3.17). Для того чтобы систематизировать обозначения, будем использовать символы и вместо у и А соответственно. Тогда Введем новые переменные с помощью вариации постоянных, определяемой матрицей (3.2) при Именно,

Будем рассматривать как -мерный вектор, так что не будет считаться компонентой вектора Тогда система (1.1) сводится, согласно (3.9), (3.10) и, (3.4), к системе

так что, если известны решения системы решения уравнения будут определяться в квадратурах. Используя (3.18) и известные решения системы (1.1), мы получим решений системы а именно:

В частности, и поэтому к системе снова можно применить процесс редукции. Предположим, что мы произвели раз замену переменных и каждая из них имела вид

где есть -мерный вектор, так что не в число его компонент. Предположим, что

в результате этих замен мы получили для следующую систему:

где и допустим, что соотношения

определяют решений системы В частности, так как имеем

Исходя из вида Т и соотношения (3.17), легко проверить, что система имеет решений которые определяются формулой Действительно, в силу (3.21а) и (3.22) соотношение (3.20) показывает,

Если заменить здесь на определяемые формулой (3.21а), и использовать равенства и (3.17), то мы получим требуемую формулу (

Заметим теперь, что является -мерным вектором и что представляет собой однородное линейное уравнение, имеющее, согласно (3.22), общее решение вида где с — произвольная постоянная. Таким образом, эквивалентно уравнению

Условие (3.11), которое мы пока еще не использовали, и индукция, проведенная по а, показывают, что аесли Отсюда

так что, согласно (3.22), уравнение сводится к уравнению

Заметим, что в силу соотношения (3.22) первое уравнение для Та из (3.20) дает

Отсюда, используя уравнение (3.25), получаем

или, согласно (3.14),

В силу (3.18), компонента определяет компоненту которая, согласно формуле (3.27), удовлетворяет уравнению Аналогично, удовлетворяет уравнению Повторяя это рассуждение, приходим к уравнению

Но из (3.25) при получаем, что

Остается заметить, что требуемый результат (3.13) следует теперь из (3.23).