§ 3. Теорема Фробениуса

Основной результат, относящийся к форме (1.5), принадлежит Фробениусу и заключается в следующем.

Теорема 3.1. Пусть непрерывная -матрица, заданная на открытом множестве Для полной интегрируемости

формы в точке необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки существовала непрерывная невырожденная -матрица , такая, форма определенная равенством имеет непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую условиям

Равенства (3.1) представляют собой условия интегрируемости. Левая их часть есть внешнее произведение дифференциальных -форм и дифференциальной -формы условия (3.1) будут использованы в такой эквивалентной форме (лемма 2.2): из равенства (т. е. следует, что (т. е.

Упражнение 3.1. Покажите, что условия (3.1) сводятся к (1.4), если принадлежит классу

Теорему 3.1 можно дополнить следующей леммой.

Лемма 3.1. Пусть непрерывная -матрица, заданная на открытом множестве Пусть обозначает множество (возможно, пустое) непрерывных невырожденных -матриц таких, что форма имеет непрерывную внешнюю производную. Тогда условия интегрируемости (3.1) или выполняются для всех матриц или не выполняются ни для одной матрицы

Например, если принадлежит классу так что форма имеет непрерывную внешнюю производную, и если условия (1.4) не выполнены, то условия (3.1) не выполняются ни при каком выборе непрерывной невырожденной матрицы А.

Упражнение 3.2 (упрощенный вариант леммы 3.1). Пусть матрицы непрерывны, и пусть форма имеет непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую условиям интегрируемости (3.1). Пусть некоторая невырожденная -матрица класса Покажите, что форма имеет непрерывную внешнюю производную, определяемую равенством и получите отсюда, что форма удовлетворяет условиям интегрируемости, аналогичным условиям (3.1).

Упражнение 3.3. Пусть вещественные переменные; вещественные функции класса причем Покажите, что для существования локального интегрирующего множителя формы условие интегрируемости сводится к равенству

Упражнение 3.4. Покажите, что если матрица непрерывна в существует непрерывная невырожденная матрица такая, что форма имеет непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую условиям интегрируемости (3.1), то каждая точка обладает окрестностью в которой определена последовательность -форм класса таких, что удовлетворяет условиям интегрируемости и последовательности сходятся равномерно в при

Упражнение 3.5. Пусть матрица непрерывна в Покажите, что форма имеет непрерывную внешнюю производную удовлетворяющую условиям интегрируемости (3.1), в том и только том случае, когда обладает непрерывными частными производными по компонентам вектора у

(ср. с упр. V.5.1) и для

по всем прямоугольникам с границами лежащими в двумерных плоскостях см. (1.4).

Теорема 3.2. Пусть матрица непрерывна в открытом множестве Система (1.12) является полной в окрестности какой-либо точки тогда и только тогда, когда окрестности точки существует непрерывная невырожденная матрица определяемая так же, как теореме 3.1. 5 частности, принадлежит классу для (локальной) полноты системы (1.12) необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия (1.4) (или (1.15)).

Понятие полноты системы сразу же приводит к такому результату

Следствие 3.1. Пусть матрица непрерывна в некоторой окрестности точки и пусть система (1.12) полна (т. е. обладает решениями такими, что вектор удовлетворяет условию Положим Пусть и вещественная функция класса заданная в некоторой окрестности точки Она является решением системы (1.12) в том и только в том случае, когда существует функция класса определенная для близких к и такая, что и для всех близких к

Доказательства теоремы 3.1 и леммы 3.1 будут даны соответственно в § 4 и 5. Теорема 3.2 является следствием теоремы 3.1 и рассуждений, использовавшихся в § 1. Доказательство следствия 3.1 подобно доказательству теоремы и приводить мы его не будем.