§ 14. Существование PD решений

Лемма 12.1 имеет следующее следствие.

Теорема 14.1. Пусть и пара допустима для системы (0.1). Если система (0.2) не имеет решения то каждое решение системы (13.2) принадлежит

В случае имеем т.е.

В некоторых ситуациях легко доказать, что система (0.2) имеет решения не лежащие в Предположим, что для решений имеет место дихотомия (или экспоненциальная дихотомия), т. е. применимы теоремы из § 6. Если все решения системы (0.2) принадлежат то они ограничены (или экспоненциально малы) при То же верно и в отношении определителя где фундаментальная матрица системы (0.2). Поскольку

этот интеграл должен оцениваться сверху постоянной (или произведением отрицательной постоянной на Поэтому, если не удовлетворяет этому условию, не все решения системы (0.2) лежат в

Теорема, аналогичная теореме (14.1), и относящиеся к ней замечания справедливы и в случае, когда система (0.1) заменена системой (0.3). Проиллюстрируем это на примере скалярных уравнений второго порядка. Рассмотрим вначале уравнения, имеющие самосопряженную форму:

Обозначим через банахово пространство комплексных чисел.

Теорема 14.2. Пусть комплексные функции локально интегрируемы при Предположим, что пара допустима для уравнения (14.1). Тогда либо уравнение (14.2) имеет решение либо каждое решение этого уравнения принадлежит

Эта теорема вытекает из леммы 12.1, поскольку если и решение уравнения (14.1), решение уравнения при замене на то соответствующая формула Грина имеет вид

см. доказательство теоремы 14.3.

Соответствующий результат для несамосопряженных уравнений

может быть получен с помощью леммы 12.1.

Теорема 14.3. Пусть комплексные функции локально интегрируемы при Предположим, что пара допустима для уравнения (14.3). Тогда либо однородное уравнение (14.4) имеет решение либо каждое решение этого уравнения таково, что и

Доказательство. Предположим, что уравнение (14.4) не имеет решения Пусть Тогда по предположению уравнение (14.3) обладает единственным решением

и обращающимся в нуль при больших . Запишем (14.3) для в виде где Если любое решение уравнения (14.4), то для него справедливо аналогичное соотношение с Поэтому в силу формулы Грина

Аналог неравенств (3.52) для вектора дает опенку

где постоянная С зависит только от и выбора нормы в Из леммы 9.2 теперь вытекает наше утверждение.

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)