§ 2. Теорема Пеано

В следующей теореме, которую нам сейчас предстоит доказать, отсутствуют условие Липшица для и утверждение о единственности решения.

Теорема 2.1. Пусть функция непрерывна в Тогда задача Коши (1.1) имеет на отрезке Ко, по крайней мере одно решение

В этой теореме означает любую подходящую норму в

Доказательство. Возьмем некоторое и обозначим через некоторую -мерную вектор-функцию класса заданную на и удовлетворяющую условиям Определим на отрезке функцию положив на и

Этой формулой продолжение функции определяется на так что на отрезке и там же

Формула (2.1) может быть теперь использована для продолжения функции на отрезок как функции класса удовлетворяющей неравенству (2.2). Продолжая эти рассуждения, мы получаем, что формула (2.1) определяет на таким образом, что удовлетворяет (2.2) и принадлежит классу на всем отрезке

Так как то семейство функций является равностепенно непрерывным. Поэтому, по теореме 1.2.3, найдется последовательность такая, что на существует равномерный предел

Из равномерной непрерывности следует, что последовательность равномерно стремится к Таким образом, в равенстве (2.1), в котором допустим предельный переход под знаком интеграла, и мы получаем соотношение (1.5). Следовательно, является решением задачи Коши (1.1). Теорема доказана.

В дальнейшем довольно часто будет использоваться следующее важное следствие теоремы Пеано.

Следствие 2.1. Пусть функция непрерывна в некотором открытом -множестве и удовлетворяет в нем условию Пусть о — некоторое компактное подмножество множества Тогда существует число зависящее от такое, что если то задача Коши (1.1) разрешима и каждое ее решение существует в отрезке

Действительно, если где граница множества то В тех приложениях, когда не является ограниченной на множество в следствии 2.1 нужно

заменить каким-либо его открытым подмножеством имеющим компактное замыкание в и содержащим

Упражнение 2.1 (полигональная аппроксимация). В предположениях теоремы 2.1 определим следующим образом множество функций Пусть : есть некоторое разбиение отрезка с диаметром разбиения Функцию на отрезке положим равной Далее, если определена на на отрезке положим функцию равной Таким образом, будет определена на как непрерывная кусочно линейная функция. Докажите теорему 2.1, получив решение задачи Коши (1.1) как предел подходящим образом выбранной последовательности (Заметим, что если решение задачи (1.1) не единственно, то этот способ может дать не все ее решения; см. случай одного уравнения )

Упражнение 2.2 («другое доказательство теоремы Пеано). Существует последовательность непрерывных функций равномерно сходящихся в причем удовлетворяет условию Липшица по для Рассмотрите решения задач Коши и примените теоремы 1.1 и 1.2.4. (В отличие от метода, рассмотренного в упр. 2.1, этим методом можно получить все решения задачи Коши (1.1); см. доказательство теоремы 4.1.)

Упражнение 2.3. [В этом упражнении приводится более точная форма теоремы 1.2.5 о неявной функции (без параметра Для формулировки теоремы нужно сначала определить для -матрицы А ее норму Пусть есть -мерное (вещественное) векторное пространство с любой подходящей нормой Тогда по определению для Эта норма зависит от выбора нормы Пусть функция класса и пусть Допустим, что матрица Якоби невырожденна в Положим для где — матрица, обратная к нормы соответствующих матриц. Пусть область, определяемая условием (Заметим, что Почему?) Тогда существует область такая, что и функция определяет взаимно однозначное отображение (замыкания) области на (замкнутый) шар см. рис. 1. Предполагая теорему 1.2.5 о неявной функции известной, получите сформулированный сейчас результат из теоремы 2.1 (Пеано). Для этого представьте сначала

уравнение для у в виде где есть некоторый постоянный вектор, а затем дифференцированием по получите дифференциальное уравнение и рассмотрите решение, удовлетворяющее начальному условию

Рис. 1.

(Можно обойтись и без применения теоремы 1.2.5 о неявной функции, если воспользоваться результатами § V.6.)