§ 3. Теорема Важевского

Степень применимости теоремы 2.1 существенно зависит от выбора множества Одна из трудностей, возникающих при ее использовании состоит в описании множества точек выхода. В некоторых случаях эта трудность может быть преодолена.

Напомним (см. § III.8), что вещественная функция и определенная на открытом подмножестве в обладает производной и вдоль траектории решения задачи (2.1) — (2.2) в точке у если функция и имеет производную в точке в этом случае

Если у (а потому и имеет вещественные компоненты принадлежит классу такая производная вдоль траектории существует и

где последний член — это скалярное произведение и градиента функции и относительно у.

Если у имеет комплексные компоненты, то мы говорим, что функция и принадлежит классу если она имеет непрерывные частные производные по и по вещественным и мнимым частям компонент вектора у. Запишем координату вектора у в виде где тк вещественны, так что Этому соответствуют стандартные обозначения:

Таким образом, если то равенство (3.2) следует заменить следующим:

в этом легко убедиться, если записать (2.1) в виде системы из дифференциальных уравнений для

Открытое подмножество называется -подмножеством в относительно (2.1), если существует некоторое (произвольное) число вещественных непрерывных функций определенных на и таких, что

и если определены как множества и для всех

то производные вдоль траекторий определены на и таковы, что

соответственно вдоль решений, проходящих через точку В этом определении I или могут равняться нулю.

Лемма 3.1. Пусть функция непрерывна на открытом -множестве некоторое -подмножество в относительно системы (2.1). Тогда

Доказательство. Ясно, что Кроме того, множество пусто, поскольку если решение задачи (2.1), (2.2), то, в силу (3.6), при для малого так что ). Следовательно,

Пусть Тогда для всех В силу (3.5), существует такое что или при или соответственно, если при если при — для всех Отсюда В силу (3.8) лемма доказана.

Теорема 3.1. Пусть функция непрерывна на открытом -множестве и решения системы (2.1) однозначно определяются начальными условиями. Пусть некоторое -подмножество в относительно (2.1). Предположим, что непустое подмножество из такое, множествб является ретрактом но является ретрактом Тогда найдется хотя бы одна точка такая, что график решения задачи Коши (2.1), (2.2) лежит в на своем правом максимальном интервале существования.

Эта теорема следует из теоремы 2.1 и леммы 3.1. В некоторых случаях можно опустить требование единственности решения задачи (2.1), (2.2).

Следствие 3.1. Пусть удовлетворяют всем условиям теоремы 3.1, однако теперь не предполагается, что решения системы (2.1) однозначно определяются начальными условиями. Предположим, кроме того, что компактное множество и функции принадлежат классу (по переменной и по вещественным и мнимым частям компонент вектора Тогда утверждение теоремы 3.1 остается справедливым.

Доказательство. Пусть некоторая последовательность функций из класса в которая сходится к при равномерно на компактных подмножествах из Пусть последовательность открытых подмножеств из таких, что множество имеет компактное замыкание

Выделяя, если это нужно, из последовательности подпоследовательность, мы можем считать, что

Следовательно, если является -подмножеством множества по отношению к системе

Множество точек (строгого) выхода для множества совпадает с Поэтому не является ретрактом но есть ретракт множества

Поэтому, в силу теоремы 2.1, существует такая точка что решение системы (3.9), удовлетворяющее условию лежит в на своем правом максимальном интервале существования относительно Если рассматривать систему (3.9) на а не на и обозначить через правый максимальный интервал существования так что и если то

Поскольку компакт, в существует точка которая является предельной для последовательности По теореме II.3.2, существуют решение задачи Коши (2.1), (2.2), для которого правый максимальный интервал существования есть и последовательность целых чисел такая, что при равномерно на каждом отрезке

Отсюда следует, что при В самом Деле, предположим, что существует такое значение что

Тогда для и большого точка так что Поэтому при и большом А. Переходя, если это нужно, к подпоследовательности, можно предполагать, что существует предел при так что и когда Но это приводит нас к противоречию, поскольку последовательность где не может иметь предельной точки

Так как и то поскольку в противном случае при для некоторого По тем же соображениям при Следствие доказано.