Глава XIII. Дихотомии для решений линейных уравнений

Рассмотрим при неоднородную линейную систему дифференциальных уравнений

и соответствующую однородную систему

или, в общем случае, неоднородную линейную систему уравнений порядка

и соответствующую однородную систему

Предположим, что банаховы пространства векторных функций и что система (0.1) [или (0.3)] имеет решение для каждой функции из 23 [соответственно из т. е. пара ( является допустимой в смысле § XI 1.6. Тогда при подходящих условиях на коэффициенты и пространства для решений однородных уравнений имеет место (экспоненциальная) дихотомия в том смысле, грубо говоря, что некоторые решения малы (экспоненциально малы), а другие велики (или экспоненциально велики) при Утверждения такого типа и обратные к ним и составляют предмет настоящей главы.

В частности, для системы (0.2) мы получим условия, необходимые или достаточные для существования матрицы Грина, определенной, как в § XII.7, и удовлетворяющей условиям

при где постоянные Основные результаты, касающиеся системы (0.2), приведены в § 6; соответствующие результаты для системы (0.4) содержатся в § 7. Наши рассуждения в основном будут опираться на теорему XI 1.0.3 об открытом отображении (фактически на аналоги лемм из § XI 1.6) и следующее основное

неравенство для решений системы (0.1): если у — точка (вещественного или комплексного) векторного пространства с нормой для то для решений системы (0.1) справедлива такая оценка:

для произвольных Если пространство евклидово, эта оценка может быть усилена:

где

Нам будет удобно записывать системы (0.1), (0.2) в виде уравнений где оператор Чтобы не рассматривать отдельно систему (0.3), мы будем записывать ее в виде (0.1), полагая Для наших целей, однако, оказывается выгодным ввести оператор «проектирования» в общем случае системы (0.1) он является единичным, а в случае, когда в виде (0.1) записана система (0.3),

Эта глава делится на две части: в части I изучаются аналоги систем (0.1), (0.3), а в части II — аналоги сопряженных систем уравнений.

ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

§ 1. Обозначения и определения

(i) Ниже символами [или ] обозначаются элементы конечномерного вещественного или комплексного банахова пространства с нормами [соответственно Не предполагается, что эти пространства евклидовы. Например, для произведения пространств часто оказывается более удобным использовать норму . К тому же гораздо удобнее работать с угловым расстоянием между двумя ненулевыми элементами определенным равенством

чем предполагать евклидовым пространством и использовать евклидов угол между или, например, Если евклидово пространство, то в (1.1) равно

Заметим, что величина равна норме элемента и потому

Переставляя мы получаем

Если X — линейное многообразие в положим для В частности,

Часто будет встречаться условие

где X — подпространство (т. е. замкнутое линейное многообразие). Заметим, что неравенство (1.4) может выполняться для у 6 X только тогда, когда Если допустимое число в (1.4), отношение можно интерпретировать как «грубую меру угла между у и линейным многообразием X». Это становится ясным, если записать (1.4) в виде для

Через мы обозначаем пространство, двойственное к а через соответствующее «скалярное произведение» элементов .

(ii) Мы будем предполагать, что в фиксирована некоторая система координат. Поэтому элемент может быть представлен в виде где а линейный оператор из определяется квадратной матрицей А порядка с нормой для (Это сделано только для того, чтобы можно было использовать теоремы гл. IV в той форме, в которой они были там приведены.)

(iii) Через будет обозначаться замкнутая полупрямая а через ограниченный интервал, лежащий в Характеристическую функцию интервала мы будем обозначать через так что или 1 в соответствии с тем, будет ли или Аналогично, это характеристическая функция полупрямой характеристическая функция отрезка

Символом всегда будет обозначаться неотрицательная функция, интегрируемая по с носителем в (т. е. равная нулю при так что

Обозначим через множество нормированных пространств элементами которых служат вещественные измеримые функции определенные на (точнее, классы эквивалентных функций, различающихся на множествах нулевой меры), удовлетворяющие следующим условиям: элементы пространства локально интегрируемы и для всякого ограниченного

существует такое число что

Наименьшее число удовлетворяющее этому условию, мы будем обозначать через так что

см. § 9; (с) если такая вещественная измеримая функция на что то если при при характеристические функции ограниченных интервалов являются элементами пространства

Если не оговорено противное, всюду в дальнейшем через обозначаются банаховы пространства из Ясно, что все пространства на при принадлежат Также принадлежит и подпространство пространства состоящее из функций стремящихся к при

В случае, когда норма будет сокращенно обозначаться через

Обозначим через банахово пространство локально интегрируемых функций на (классов эквивалентных функций, различающихся на множествах меры нуль) с нормой

Очевидно, .

(vi) Если обозначим через линейное многообразие функций с компактными носителями, т. е. функций равных нулю при больших. Если, кроме того, банахово (т. е. полное) пространство, то пополнение (замыкание) в

(vii) Если конечномерное банахово пространство (над полем вещественных или комплексных чисел), то через обозначается нормированное векторное пространство измеримых функций (точнее, классов эквивалентных функций, различающихся на множествах нулевой меры) из (т. е. вектор-функций, компонентами которых являются измеримые функции), так что функция принадлежит и норма по определению, равна Для краткости мы будем обозначать норму элемента через Легко видеть, что если банахово пространство, то таким же будет и

(viii) Обозначим через пространство вещественных измеримых функций на эквивалентных функций, различающихся на множествах нулевой меры) с топологией сходимости в смысле на ограниченных интервалах. Соответственно, пространство локально интегрируемых функций из с топологией сходимости в смысле на ограниченных интервалах.

Условие [см. (1.5)] на пространствах означает, что пространство сильнее, чем так что из сходимости в пространстве вытекает сходимость в пространстве см. § XII.6.

(ix) Пространство называется квазиполным, если условие влечет за собой следующее: либо при некотором либо при Пространства при очевидно, являются квазиполными.

(х) Дихотомии. Предположим, что банаховы пространства, линейное многообразие функций определенных на и принимающих значения в У. Каждой функции из сопоставим неотрицательную функцию определенную на и элемент пространства Предположим, что отображение из определенное равенством , является линейным и взаимно однозначным; мы будем называть тачальным значением» функции Пусть линейное многообразие, содержащееся в области значений оператора

Если подпространство (т. е. замкнутое линейное многообразие), мы будем говорить, что оно индуцирует частичную дихотомию для если существует такая положительная постоянная и такое неотрицательное число что

Подпространство индуцирует полную дихотомию для если оно индуцирует частичную дихотомию для где кроме того

(c) существует такая постоянная что если функции удовлетворяют условиям (а) и (b) соответственно, то

Подпространство индуцирует экспоненциальную дихотомию для если существуют неотрицательное число положительные числа и для каждого положительное число такие, что

Подпространство индуцирует полную экспоненциальную дихотомию для если оно индуцирует экспоненциальную дихотомию для где и выполнено условие (с) определения полной дихотомии (т. е. индуцирует полную дихотомию для и экспоненциальную дихотомию для

Многообразие (необязательно замкнутое) индуцирует индивидуальную частичную экспоненциальную) дихотомию для если

(a) для каждой функции существуют постоянные зависящие от и такие, что выполняется условие (1.7) (или (1.10);

(b) для каждой функции можно указать такие постоянные (или ), зависящие от что

(или соответственно имеет место (1.11)).

В тех случаях, когда это не может привести к недоразумению, мы будем вместо писать аналогично, если вместо мы будем писать просто