§ 10. Доказательство теоремы 8.1

Рассмотрим сначала случай, когда принадлежат классу Пусть и пусть обозначает выпуклую открытую окрестность точки с компактным замыканием Тогда по теореме существования Пеано (следствие II.2.1) найдутся открытое множество и числа такие, что если решение существует на отрезке

Заметим, что зависят только от и верхней границы

Предположим дополнительно, что в справедливы неравенства (9.6) и (9.7). Тогда (9.9) и (9.10) показывают, что существует постоянная К (зависящая только от верхней границы на и от такая, что

для

для Наконец, поменяв местами в (10.1), получим, что

при условии, что

Очевидно, существует окрестность точки такая, что последнее условие (для выполнено, если отрезок достаточно мал и

Подчеркнем еще раз, что и постоянная зависят только от верхней границы на множестве и справедливости в неравенств (9.6) и (9.7).

Вернемся к случаю, когда и А не обязательно принадлежат классу Мы предполагаем только, что и А непрерывны, матрица А невырожденная и форма (7.2) является -липшицевой в каждом открытом множестве с компактным замыканием Тогда существует последовательность упорядоченных наборов из -форм

определенных в с коэффициентами из класса такая, что равномерно в при и при этом выполнено неравенство (7.7). Так как матрица А невырожденна, то для больших матрицы также являются невырожденными в Пусть, например, это верно для всех тогда можно представить в виде

где равномерно в при Можно считать, что неравенство (7.7) выполняется постоянной можно также предполагать, что существует число такое, что в

Пусть при множество выделенное в последнем абзаце, является выпуклой открытой окрестностью точки с компактным замыканием Так как последовательность равномерно ограничена для то найдется открытая окрестность точки такая, что если то задача (7.1) или задача

имеют какое-либо решение при где не зависят от и решения Значит,

существует постоянная не зависящая от и такая, что если есть решение задачи (10.7), то для него верны соотношения В частности, последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна для Поэтому из нее можно выделить подпоследовательность (которую после перенумерации можно считать полной последовательностью), такую, что предел

существует равномерно для а

По теореме 1.2.4, функция является решением задачи (7.1) для Кроме того, при выполнении условий, наложенных на остаются справедливыми соотношения (10.1) и (10.4). Но из неравенства (10.4) следует, что если точка У о) достаточно близка к то две различные дуги не могут проходить через одну и ту же точку Поэтому, в силу теоремы III.7.1, функция является на достаточно малых отрезках — единственным решением задачи (7.1) с начальным условием Так как произвольная точка из теорема 8.1 доказана.