ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕБЕ—НДИКСОНА НА ДВУМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

Хотя доказательство теоремы Пуанкаре — Бендиксона (теорема 4.1) для плоской автономной системы и зависит от теоремы Жордана, все же оказывается, что аналогичные результаты

справедливы, если выполнены подходящие условия гладкости для произвольных двумерных дифференцируемых многообразий. Это приложение и посвящено результатам такого рода.

§ 11. Предварительные сведения

Объектом изучения в этом приложении будут потоки на двумерных многообразиях.

Определение. Двумерное многообразие класса Пусть связное, хаусдорфово топологическое пространство, для которого (i) задано открытое покрытие где а некоторое множество индексов; для каждого индекса а существует непрерывное взаимно однозначное отображение множества на открытый (плоский) квадрат, такое, что (ii) если пересечение не пусто, то есть отображение множества на которое принадлежит классу (причем если то это отображение имеет ненулевой якобиан). Тогда называется двумерным многообразием класса

Пусть обозначает точку на тогда есть функция от значения которой являются двумерными (вещественными) векторами Когда пробегает значения пробегают квадрат, например Множество называется координатной окрестностью любой точки локальными координатами точки Условие (ii) относится к отображению (Замечание в скобке, относящееся к якобиану излишне, так как обратные отображения и предполагаются принадлежащими классу

Важно подчеркнуть, что двумерное многообразие состоит из пространства данного его покрытия и данного множества гомеоморфизмов Обычно бывают фиксированными и тогда кратко обозначают просто через

Определение. Пусть двумерное многообразие класса Пусть открытое множество из некоторый гомеоморфизм множества на открытый квадрат. Тогда называется допустимой координатной окрестностью на (допустимыми) локальными координатами точки если удовлетворяет условиям (i) и (ii) определения многообразия.

Определение. Пусть есть двумерное многообразие класса Под потоком

класса понимается функция определенная для — и принимающая значения в такая, что

(i) для фиксированного есть гомеоморфизм из на есть группа отображений

в частности, есть непрерывная функция от наконец, (iv) если то принадлежит как функция от классу

Последние два условия имеют следующий] смысл. Рассмотрим произвольно заданные и пусть координатная окрестность, содержащая точку локальные координаты в и пусть Тогда условие (iii) означает, что для близких к означает, что

принадлежит классу как функция от в открытом -множестве, на котором определена правая часть.

Лемма Пусть Тогда для фиксированного якобиан отображения определенного формулой (11.3), не обращается в нуль (всюду, где определено

Доказательство. В силу] отображение имеет обратное

которое по предположению также принадлежит классу откуда и следует утверждение леммы.

«Поток» является обобщением понятия «общего решения автономных дифференциальных уравнений на см., например, § 14 или

Для произвольно заданной точки подмножество пространства называется орбитой, проходящей через Так как каждая точка однозначным образом определяет свою орбиту, то из группового свойства (ii) следует, что орбиты или тождественны, или не имеют общих точек.

Если орбита сводится к точке (т. е. для — эта точка называется стационарной.

Лемма 11.2. Пусть Точка является стационарной в том и только в том случае, когда имеет в точке равную нулю производную.

Упражнение Докажите эту лемму.

Подмножество называется инвариантным множеством, если для каждого Таким образом, является инвариантным подмножеством в том и только в том случае, когда для — или, что

эквивалентно, в том и только в том случае, когда для любого В частности, если замкнутое инвариантное множество и то замыкание орбиты, проходящей через содержится в

Подмножество называется минимальным множеством, если 1) оно является замкнутым инвариантным множеством и 2) не содержит собственного замкнутого и инвариантного подмножества.

Например, если стационарная точка, то множество, состоящее из одной этой точки, является минимальным. Более общо, если функция является периодической (т. е. если существует число такое, что для — то минимальное множество.

Упражнение 11.2. Пусть двумерное многообразие и поток на Если множества инвариантные, то также являются инвариантными множествами. (b) Если инвариантное множество, а суть соответственно его граница и множество внутренних точек, то также являются инвариантными множествами. (с) Если минимальное множество, то или или нигде не плотно в

Пусть и пусть обозначает полуорбиту начинающуюся в Точка называется -предельной точкой орбиты если существует последовательность -значений такая, что при Множество -предельных точек орбиты мы будем обозначать через Для справедливы аналоги теорем 1.1 и 1.2.

Упражнение 11.3. Пусть двумерное многообразие, поток на класса Пусть для Тогда замкнуто, (b) Если то т. е. множество является инвариантным, (с) Если, кроме того, имеет компактное замыкание, то связно.

Упражнение 11.4. Пусть определены так же, как в упр. минимальное множество и Тогда Если, кроме того, не пусто (например, если компактно), то

Пусть принадлежат классу Пусть координатная окрестность на локальные координаты точки так что есть гомеоморфное отображение в квадрат 5, скажем Замкнутая (или открытая) дуга класса или ее образ называется трансверсалью потока

если нет орбиты, касательной к т. е. если дифференцируемая дуга которая определена для малых и начинается в при не касается ни при каком из

Лемма 11.3. Пусть есть нестационарная точка потока локальные координаты в Тогда существует трансверсальная дуга или класса удовлетворяющая условию Более того, для любой такой трансверсали и достаточно малого множество где является допустимой координатной окрестностью, а для являются допустимыми локальными координатами в

Упражнение 11.5. Докажите эту лемму.