§ 6. Случай «лямбда» больше 0

Теорема о существовании решения в случае, когда основывается на следующих простых топологических фактах.

Лемма 6.1. Пусть суть -мерные векторы, а функция непрерывна на открытом множестве пространства переменных и такова, что задача Коши для системы уравнений

имеет единственное решение. Пусть открытое подмножество в причем все точки выхода из являются точками строгого выхода и множество точек выхода несвязно. Обозначим через множество точек входа для через такое связное подмножество в что содержит две точки

для которых решения системы (6.1), проходящие через при покидают с ростом в точках, принадлежащих различным связным компонентам множества Тогда найдется по крайней мере одна точка такая, что решение системы (6.1), определяемое условием остается в на своем правом максимальном (открытом) интервале существования.

Определения точек входа, выхода и строгого выхода см. в

Доказательство. Если лемма неверна, то существует непрерывное отображение где при точка является первой точкой в которой решение, проходящее через встречается с Отображение непрерывно, поскольку каждая точка выхода из является точкой строгого выхода, а решение системы (6.1) непрерывно зависит от начальных условий (теорема Поэтому из связности множества вытекает, что образ является связным множеством, но это противоречит нашему предположению о существовании точек

Теорема 6.1. Пусть Тогда существует одно и только одно решение задачи (5.1), (5.2), (5.3). Это решение таково, что

Применяя лемму 6.1, мы используем следующий факт: в случае задача (5.1), (5.2) имеет тривиальное решение

Поэтому определяемое ниже множество будет несвязным.

Доказательство теоремы единственности проводится в этом параграфе как для так и для Она будет выведена из упр. III.4.1 и использует неравенство (6.2); с (8.4).

Доказательство. Существование решения при Перепишем дифференциальное уравнение (5.1) в виде системы первого порядка для трехмерного вектора где

Рассмотрим это уравнение во всем пространстве переменных Пусть множество

открыто, а его граница состоит из множеств

см. рис. 2. Легко проверить, что множество точек выхода из совпадает с и все точки выхода являются точками строгого выхода.

Рис. 2. Проектирование на -плоскость.

Точки входа образуют множество Решение проходящее через точку где не лежит в малых поскольку а из того, что при вытекает неравенство при малых Заметим, что точки из не являются ни точками входа, ни точками выхода, поскольку им соответствуют тривиальные решения (6.3).

Мы видим, что множество несвязно. Пусть и произвольно}, где фиксированы, Множество ; является связным. Обозначим через решение системы (6.4), проходящее через точку

Если то точка является точкой строгого выхода из Поэтому ясно, что если мало, то кривая выходит из при некотором в точке, принадлежащей То же верно и для при малых

Покажем, что если велико, то дуга решения покидает проходя через точку из где Запишем третье уравнение системы (6.4) в виде

Вдоль кривой при компонента не убывает (поскольку ). Следовательно,

Интегрируя, получаем, что при

Поскольку так что имеем

Следовательно, если достаточно велико, значение становится больше данной положительной постоянной на большом -интервале если точка Поскольку кривая выходит из в точке, где

По лемме 6.1 найдется такое значение что Уч на своем правом максимальном интервале существования, который обязательно совпадает с полупрямой Для этого решения при так что при больших Поскольку при больших то существует при Этот предел равен 0, поскольку при всех Следовательно, при (в противном случае Этим завершается доказательство существования.

Единственность при Доказательство основывается на введении новых переменных вдоль решения уравнения (5.1), для которого Пусть и — новая независимая переменная и новая зависимая переменная, так что или Поэтому, если обозначать точкой дифференцирование по и, то

Уравнение (5.1) переходит в уравнение

краевые условия (5.2) — в условия

а условие (5.3) — в условие

Пусть решение задачи (6.8), (6.9), причем на некотором полуинтервале Пусть

функция, обратная к Положим

Тогда

поскольку так что в силу (6.8)

Тогда (6.13), (6.14) составляют систему дифференциальных уравнений для вектора причем функция в правой части (6.13) возрастает при возрастании а функция в правой части (6.14) возрастает с ростом и не убывает с ростом V при Следовательно, если два произвольных решения системы (6.13), (6.14), такие, что и функции возрастают с ростом на всяком интервале на котором решение определено; см. упр. и

Предположим теперь, что задача имеет два различных решения и при В силу (6.2) или при при Пусть соответствующие решения уравнения (6.8), определенные по (6.7); функции, обратные к определены по (6.12). Тогда функции определены при При этом Так как и) при то при но функция возрастает вместе с Мы приходим к противоречию, что доказывает единственность.

Упражнение 6.1. Пусть и решение, существующее в силу теоремы 6.1. Изменив доказательство единственности, покажите, что если то при

Упражнение 6.2. Если , то утверждение о единственности в теореме 6.1 можно доказать, применив один вариант упр. XI к (6.8), где при (и заменив отрезок фигурирующий в упр. XII.4.6 (а), полупрямой

Упражнение 6.3. Пусть Покажите, что то задача (5.1), (5.2) имеет одно и только одно решение и для которого и при Это решение таково, что при при

Упражнение 6.4. Приведите другое доказательство существования в теореме 6.1, основанное на следующих соображениях. Пусть Тогда уравнение (5.1) можно записать в виде

Определим последовательные приближения, полагая и после того как определены примем в качестве решение уравнения

удовлетворяющее условиям при см. следствие XI.6.4. Функция единственна и при см. упр. XI.6.7. Положим

Покажите, что при при см. следствие XI.6.5. Аналогично, определим последовательные приближения так что

Покажите, что при При этом для для Покажите, что и что последнее равенство в (6.15) определяет решения задачи (5.1) -(5.3). (Эти решения совпадают в силу теоремы единственности 6.1.)