§ 4. Дифференциальные неравенства

В следующей теореме речь идет об интегрировании некоторого дифференциального неравенства. Это один из наиболее часто используемых результатов в теории дифференциальных уравнений

Теорема 4.1. Пусть непрерывна в открытом -множестве максимальное решение задачи Коши (2.1). Пусть функция непрерывна на удовлетворяет условиям и имеет в точках а правую производную такую, что

Тогда на общем интервале существования функций выполняется неравенство

Замечание 1. Если неравенство (4.1) заменено противоположным и то утверждение (4.2) должно быть заменено неравенством где является минимальным решением задачи Коши (2.1). Соответственно, если в теореме 4.1 функция непрерывна на отрезке имеет левую производную на удовлетворяющую неравенству неравенство (4.2) снова должно быть заменено неравенством

Замечание 2. Из доказательства теоремы 4.1 будет ясно, что она верна и в том случае, когда «правая производная» заменена «верхней правой производной», определяемой формулой (3.1), в которой обычный предел нужно заменить верхним пределом

Доказательство теоремы 4.1. Очевидно, достаточно показать, что неравенство (4.2) справедливо на для некоторого Действительно, если определены на то в случае существования такого множество тех значений для которых верно (4.2), не может иметь верхней границы, отличной от

Пусть достаточно велико, и пусть выбрано независимо от таким, что задача (2.3) имеет решение на отрезке Как и в доказательстве леммы 2.1, достаточно проверить, что на но доказательство этого факта совершенно аналогично доказательству неравенства (2.5) из § 2.

Следствие 4.1. Пусть непрерывна на и имеет там правую производную Тогда

Следствие 4.2. Пусть и определены, как в теореме 4.1. Пусть функция непрерывна на и удовлетворяет условию

Пусть является решением задачи Коши

на некотором отрезке Тогда неравенство (4.2) справедливо справа от точки на любом общем интервале существования функций

Из замечания 2 ясно, что если может быть продолжена на интервал, лежащий слева от то на этом интервале неравенство (4.2) должно быть заменено неравенством где минимальное решение задачи (2.1), причем

Следствие 4.3. Пусть функции и определены, как в теореме 4.1, а минимальное решение задачи Коши

Пусть некоторая вектор-функция класса определенная на отрезке и такая, что и

Тогда на любом общем интервале существования и и справедливо первое [второе] из двух неравенств

Это следствие сразу же вытекает из теоремы 4.1 и замечания 1, так как имеет правую производную, удовлетворяющую в силу леммы 3.2 неравенствам — (Согласно упр. 3.1, это следствие справедливо и в том случае, когда обозначает евклидову норму.)

Упражнение Пусть непрерывна в полосе любое, и пусть является неубывающей относительно каждой из компонент вектора у. Предположим, что задача Коши имеет при некотором фиксированном единственное решение определенное на Пусть, далее, непрерывная на вектор-функция такова, что каждая ее компонента имеет правую производную и для Тогда для (Условия, наложенные на 2, выполнены, если непрерывна на функция является решением системы

на на См. также замечание к упр. 4.3.

(b) Если в (а) любая задача Коши для системы имеет единственное решение, возрастает относительно по крайней мере для одного индекса то для

Если в добавление к предположениям п. (а) существует еще индекс такой, что функция является неубывающей относительно то разность будет неубывающей (или невозрастающей) на

(d) Если выполнены предположения пп. (Ь) и (с), то разность является возрастающей (или убывающей) на

(e) Пусть вещественные скалярные функции, а вещественный -мерный вектор. Пусть функция непрерывная в полосе у любое, такова, что решения уравнения однозначно определяются заданными начальными условиями, и пусть не убывает относительно каждой из первых компонент вектора у. Пусть два решения уравнения на с условием для Тогда для более того, разность — является неубывающей для

Упражнение 4.2. Пусть непрерывны в полосе любое, и таковы, что для и для каждого одна из функций не убывает относительно Пусть на функция является решением задачи Коши — решением задачи где для Тогда Для

Упражнение 4.3. Пусть непрерывна в области и такова, что ее компонента является неубывающей относительно каждого Покажите, что задача Коши имеет максимальное [минимальное] решение такое, что если любое другое решение этой задачи, то на их общем интервале существования.

Замечание. Предположение упр. о том, что задача Коши имеет единственное решение, может быть отброшено, если заменить максимальным (или минимальным) решением

Упражнение 4.4. Пусть линейны относительно у, скажем ,

где непрерывны на Пусть являются решениями задачи соответственно. (Эти решения существуют на [a, b]; см. следствие 5.1.) Какие условия на обеспечивают для неравенства

Теорема 4.1 имеет «интегральный» аналог, в котором, однако, требуется, чтобы была монотонной относительно . В этом случае имеется следующее обобщение теоремы 1.1:

Следствие 4.4. Пусть непрерывна и не убывает относительно и в области и любое. Пусть максимальное решение задачи Коши (2.1) на Пусть на этом же отрезке задана функция удовлетворяющая неравенству

где Тогда для

Доказательство. Пусть обозначает правую часть неравенства (4.8), так что и . В силу монотонности имеем Следовательно, по теореме 4.1 на Значит, что и требовалось доказать.

Упражнение 4.5. Установите аналог следствия 4.4 для случая, когда постоянная в неравенстве (4.8) заменена непрерывной функцией

Упражнение 4.6. Пусть суть -мерные векторы; непрерывна в области любое, и такова, что не убывает относительно каждого

Пусть максимальное решение задачи Коши существует на Пусть является непрерывной вектор-функцией, такой, что для Тогда на всем этом отрезке