§ 9. Замечания о замене переменных

В этом параграфе содержатся замечания, которые будут использованы в последующих главах.

(i) Если является постоянной -матрицей, то обычная нормальная жорданова форма класса матриц, подобных описывается формулами (5.14) - (5.16). В дальнейшем часто будет полезным замечание о том, что единицы, стоящие на поддиагонали матрицы в (5.16), могут быть заменены любым Это вытекает из следующей формулы:

где определяется формулой (5.15),

Рассмотрим вещественную нелинейную систему дифференциальных уравнений вида

где постоянная матрица. При линейной замене переменных с постоянными коэффициентами

система (9.1) принимает вид

Хотя и являетсяматрицей с вещественными элементами, ее собственные значения не обязаны быть вещественными. Соответственно, не обязательно существует вещественная матрица такая,

что имеет нормальную жорданову форму. А для матрицы с комплексными элементами функция может быть не определена.

Однако следует отметить, что для многих целей формальная замена переменных (9.2) с комплексной матрицей допустима, если интерпретировать (9.2) и (9.3) подходящим образом. Формальные операции над системой (9.3) тогда являются законными.

Если матрица выбрана так, что является нормальной жордановой формой, то столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы или ее степеней. Далее, если имеет а вещественных собственных значений (с учетом кратности), то другие собственные значения матрицы образуют пары комплексно сопряженных чисел. Пусть Соответственно можно предположить, что первые столбцов матрицы являются комплексно сопряженными по отношению к следующим столбцам и что последние а столбцов состоят из вещественных чисел. Таким образом, если через обозначить матрицу

где единичная -матрица, то будет матрицей с вещественными элементами. Замена переменных

преобразует (9.1) в систему

которая эквивалентна следующей системе:

Дифференциальные уравнения в (9.5) являются вещественными; дифференциальные уравнения в (9.6) представляют собой линейные комбинации одного или двух уравнений из (9.5) с постоянными коэффициентами, равными 1 или

В последующем уравнение (9.3) следует интерпретировать как (9.6). Это эквивалентно соглашению считать в для вещественными для Таким образом, мы можем рассматривать (9.3) в переменных где для

Упражнение 9.1. Пусть постоянная -матрица с собственными значениями такими, что являются простыми собственными значениями для некоторого Пусть непрерывно дифференцируемая -матрица, заданная для и такая, что при

и Покажите, что для больших матрица имеет простых собственных значений таких, что при функции непрерывно дифференцируемы и для Пусть постоянная невырожденная матрица, такая, что где некоторая -матрица (например, предположим, что является для нормальной жордановой формой). Пусть где или 0, когда или соответственно. Покажите, что для больших матрица имеет собственный вектор такой, что при имеет непрерывную производную, удовлетворяющую для следующему условию: Покажите, что для больших существует непрерывно дифференцируемая невырожденная матрица такая, что существует и невырожденна, имеет вид где некоторая -матрица.