§ 8. Секторы

Рассмотрим теперь общий случай стационарной точки, не являющейся точкой вращения. Удобно принять при этом следующую терминологию: решение уравнения определенное в полуинтервале (или в полуинтервале для называется положительным (или отрицательным) нуль-решением, если при Если решение задачи единственно, то тогда обязательно

Лемма 8.1. Пусть функция непрерывна для малых при Предположим, что точка не является точкой вращения. Тогда существует по крайней мере одно нуль-решение.

Доказательство. Пусть так мало, что в окрестности нет замкнутой орбиты, окружающей точку и предположим противное, т.е. что в не существует нуль-решения.

В таком случае уравнение не имеет ни одного решения определенного при и удовлетворяющего условию Действительно, в противном случае мы имели бы (так как в нет замкнутых орбит), и тогда из теоремы 4.2 следовало бы существование по крайней мере одного положительного нуль-решения. Аналогично, уравнение не имеет решения определенного при и удовлетворяющего условию

Значит, если решение соответствующей задачи (6.1), найдется отрезок — такой, что Соответственно решение определено для для для о для

Рассматривая последовательность точек стремящихся к началу, мы получим последовательность решений таких, что для при Выбрав соответствующую подпоследовательность и перенумеровав ее, мы можем считать, что существуют пределы где Если, кроме того, то можно считать, что последовательность при сходится к пределу равномерно на каждом отрезке из полуинтервала и является решением уравнения

Ясно, что В противном случае при больших решение при остается в малой окрестности точки но тогда невозможно, чтобы при Если то из теоремы существования Пеано видно, что при больших решение может быть определено на интервале, содержащем отрезок и тогда предел существует, а последовательность сходится равномерно на отрезке Значит, Наконец, если то определено для что, как мы видели выше, невозможно. Полученное противоречие и доказывает лемму.

Предположение. Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что решение любой задачи Коши о единственно.

Пусть С — положительно ориентированная жорданова кривая, окружающая точку Решение уравнения называется положительным или отрицательным базисным решением для С, если определено или для или для находится во внутренней области С при и является нуль-решением.

Пусть суть два базисных решения для С. Открытое подмножество внутренней области кривой С, ограниченное точкой дугами и (ориентированной замкнутой) дугой идущей от к называется сектором кривой С (определенным упорядоченной парой исключено, что так что дуга кривой С может вырождаться в точку.

Рассмотрим случай, когда уравнение имеет решение находящееся или во внутренней области С, или на С при всех и для Для при некоторых см. рис. 9. Точка и дуга образуют жорда-нову кривую с внутренней областью Если множество содержит то оно называется эллиптическим сектором. Когда (так что сводится к точке то есть эллиптический сектор, совпадающий с Если то может содержать точки, не входящие в Рассматривая

чаи перечисленные в абзаце, следующем за (6.2), видимг что если есть решение задачи (6.1) с то существует для при

Сектор не являющийся эллиптическим и такой, что в множестве нет базисного решения, называется гиперболическим; см. рис. 10, а.

Рис. 9. Эллиптические секторы.

Из следующего ниже доказательства теоремы 9.1 следует, что одна из граничных дуг гиперболического сектора является положительным базисным решением, а другая — отрицательным базисным решением.

Сектор 5, обладающий тем свойством, что обе его граничные дуги являются положительными (или отрицательными) базисными решениями и замыкание 5 не содержит отрицательно (или положительного) базисного решения, называется положительным (или отрицательным) параболическим сектором (рис. 10, б).

Рис. 10. а) Гиперболические секторы, б) параболические секторы.

Заметим, что сектор любого типа (эллиптический, гиперболический или параболический) может содержать решения удовлетворяющие условию при Такая дуга и точка образуют жорданову кривую. В секторе 5 может существовать даже бесконечное число таких

орбит с попарно непересекающимися внутренними областями жордановых кривых. Обозначим через множество точек из на таких орбитах вместе с точкой и будем называть эллиптической частью сектора Тогда множество замкнуто. В случае гиперболического и параболического секторов множества не пересекаются.

Гиперболический сектор должен, а параболический сектор может содержать открытые дуги решений имеющих обе свои конечные точки на Замыкание множества точек у на таких дугах мы обозначим через и назовем его гиперболической частью сектора Из доказательства теоремы 9.1 будет видно, что или в соответствии с тем, гиперболичен или параболичен сектор

Лемма 8.2. Предположим, что функция непрерывна в односвязной области содержащей точку причем для и пусть решения задач Коши единственны. Обозначим через С жорданову кривую в окружающую точку Тогда число эллиптических и гиперболических секторов в С может быть лишь конечным.

Доказательство. Допустим, что лемма неверна. Тогда существуют точка и последовательность точек из С, стремящихся к монотонно вдоль С и таких, что точки являются начальными точками соответственно положительных и отрицательных базисных решений Значит, решение находится в секторе с границами Ясно, что пределы существуют равномерно на отрезках из интервалов соответственно и являются решениями уравнения Но как точечные множества дуги совпадают. Однако это невозможно, в чем можно убедиться, рассмотрев при малых и при малых Лемма доказана.

Лемма 8.3. Пусть и С обладают теми же свойствами, как лемме 8.2. Если из внутренней области кривой С удалить замыкания всех гиперболических и эллиптических секторов, то оставшееся множество или пусто (относительно внутренней области С), или является объединением конечного числа попарно не пересекающихся параболических секторов.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда существуют гиперболические и или эллиптические секторы, а оставшееся множество представляет собой объединение конечного числа попарно не пересекающихся секторов. Нужно доказать, что эти секторы являются параболическими.

Пусть сектор, не содержащий ни эллиптической, ни гиперболической частей. Предположим сначала, что одно из граничных базисных решений сектора является положительным, а другое — отрицательным. Покажем, что это приводит к противоречию.

Пусть для определенности положительное, а отрицательное базисные решения; см. рис. 11.

Рис. 11.

При движении от вдоль найдется последняя точка у (возможно, совпадающая с ), такая, что для нее решение задачи существует и остается в при (и, значит, является положительным нуль-решением). Тогда поскольку 5 не содержит эллиптических секторов. Двигаясь по от мы найдем последнюю точку такую, что для нее решение задачи существует и остается в 5 при Ясно, что и так как в 5 нет эллиптического сектора.

Пусть есть дуга из соединяющая точки Решение с аргументом увеличивающимся (или уменьшающимся) от 0, имеет последнюю точку на С, которая может совпасть с и которая находится на дуге (или точке) кривой С, идущей от до у (или от до Обозначим через дугу кривой С, идущую от до у (или от до Пусть (или есть решение задачи для (или Тогда существует сектор граница которого состоит из точки базисных решений и дуги

Так как сектор с 5, то он не является эллиптическим. С другой стороны, нет решения задачи (6.1) с

(без концевых точек), остающегося в при или Для случая это ясно из определения концевых точек дуги Для это также очевидно, поскольку решение, начинающееся в такой точке или выходит за пределы 5, или является частью решений которые при больших 111 принадлежат не множеству а его границе.

Значит, сектор является гиперболическим. Это противоречие показывает, что граничные базисные решения не могут быть противоположного типа (т. е. положительным и отрицательным).

Рассмотрим случай, когда оба граничных базисных решения сектора являются положительными (или отрицательными). Тогда если сектор не является параболическим, то он содержит отрицательное (или положительное) базисное решение Но в этом случае линии определяют секторы только что рассмотренного типа. Однако это невозможно, и потому сектор является параболическим. Лемма доказана.

Для того чтобы избежать рассмотрения частных случаев, сделаем следующее замечание. Если точка не является точкой вращения, то по лемме 8.1 существует по крайней мере одно базисное решение если С находится в достаточно малой окрестности точки Если при этом окажется, что эллиптического и гиперболического секторов нет, то дуги определяют параболический сектор с . Значит, для малой кривой С, которая окружает точку не являющуюся точкой вращения, внутренняя область С всегда распадается на конечное число эллиптических, гиперболических и параболических секторов»

Упражнение 8.1. Пусть и С обладают теми же свойствами, что и в лемме 8.2. Предположим, что замыкание внутренней области I кривой С не содержит периодических решений. Покажите, что тогда найдется точка такая, что решение задачи (6.1) существует и остается в I или при или при Значит, есть или нуль-решение, или спираль вокруг такая, что или содержит решение являющееся одновременно и положительным, и отрицательным нуль-решением.