§ 3. Системы, близкие к линейным

Результаты §§ 1 и 2 могут быть применены к двумерным системам, полученным возмущением линейной системы

в которой есть двумерный вектор, постоянная матрица с вещественными элементами. Если не оговорено противное, то в дальнейшем будет предполагаться, что

Пусть собственные числа матрицы очевидно, являются или вещественными, или комплексно сопряженными, так как матрица вещественная. Если или простое собственное число или если имеет элементарный делитель степени 2, то с точностью до множителя ±1 существует единственный (вещественный) единичный собственный вектор для которого

Напомним результаты упр. VII.7.1 и 7.2: если то точка является центром; если то точка есть фокус («достигаемый» при в соответствии с тем, будет ли или ; если вещественны и то точка является

точкой притяжения, а именно узлом для в соответствии с тем, будет ли или собственным узлом, если только имеет простые элементарные делители); наконец, если вещественны и то точка является седловой.

После надлежащих вещественных линейных замен переменных можно считать, когда это удобно, что задана в одной из следующих нормальных форм:

В этом параграфе мы будем рассматривать систему

где функция непрерывна при малых и

Теорема 3.1. Предположим, что имеет место (3.2) и непрерывная функция удовлетворяет условию (3.5). Пусть точка является для системы (3.1) точкой притяжения при так что

(i) Тогда точка является при точкой притяжения и для системы (3.4). Более общо, если существует такая постоянная точка достаточно близка к нулю, то каждое решение системы (3.4) с начальным условием существует для и удовлетворяет следующим условиям:

где

(ii) Если так что вещественны, имеет место (3.7), то существует предел

который является собственным вектором матрицы соответствующим собственному числу частности, вела матрица задана в нормальной форме то

соответствии с тем, будет ли или .

(iii) Пусть Если 2° есть одна из двухвещественных единичных собственных векторов матрицы соответствующих значению то система (3.4) имеет по крайней мере одно решение удовлетворяющее (3.8) и (3.7) с Если есть один из двух вещественных единичных собственных векторов матрицы соответствующих значению если достаточно малы, то любое решение системы (3.4) с начальным условием существует для и удовлетворяет соотношениям (3.8) и (3.7) с

Доказательство Произведя, если это необходимо, вещественную линейную замену переменных, мы можем считать, что матрица задана в одной из нормальных форм (3.3). В случае можно также предположить, что множитель так мал, что . Тогда легко проверить, что если достаточно мало, то Из этого следует, что вдоль решения при малых имеет место неравенство

Следовательно, если достаточно мало, то существует для и удовлетворяет (3.6) с

Если матрица задана не в нормальной форме и невырожденная матрица, такая, что имеет только что указанный вид, то неравенство (3.6) при замене в нем на выполняется с В этом случае (3.6) будет верным, если

Если задана в одной из нормальных форм или то легко видеть, что (3.7) следует из соотношения Тем самым доказательство для этого случая закончено. (Случаи будут рассмотрены при доказательствах

Доказательство Предположим, что представлена в нормальной форме так что единичные собственные векторы матрицы суть для и для

полярные координаты тогда (3.4) при принимает следующий вид:

Мы видим, что характеристическими направлениями являются только направления см. упр. 2.1. Значит, если при то по теореме 2.1 или есть спираль, или имеет место (3.9).

Пусть есть сектор где малы. Легко видеть, что если решение начинается в или входит в то оно остается в секторе так как его граничные точки являются для него точками строгого входа; см. следствие при замене на Значит, такие решения удовлетворяют условию при и второй части соотношения (3.9), т. е. в итоге равенству (3.8). Соотношение (3.7) с следует из первого уравнения (3.10). В частности, ни одно решение стремящееся к при не является спиралью.

Если в определении сектора точку взять в виде то существование решений удовлетворяющих (3.8), вытекает из следствия Как и выше, такие решения удовлетворяют (3.7) с Теорема 3.1 доказана.

Теорема 3.2. Пусть собственные значения матрицы равны где а и вещественны, имеет место (3.5); есть решение системы (3.4), такое, что для всех есть непрерывное продолжение угла Наконец, пусть Тогда существует число такое, что если то для больших

В частности, при в соответствии с тем, будет ли или Если, кроме того, то

Таким образом, если точка является для системы (3.1) центром, то она будет для (3.4) центром или фокусом, а если является для (3.1) фокусом, то она будет фокусом и для системы (3.4).

Доказательство. Легко проверить, что ни предположения, ни утверждения теоремы не изменятся, если подвергнуть вещественному линейному преобразованию; следовательно, можно считать, что матрица представлена в нормальной форме Пусть Перепишем систему (3.4) в виде

Переходя к полярным координатам, получаем

где

так что при Значит, существует такое что если Поэтому если откуда вытекает (3.11). Если то по теореме при и тогда при Отсюда получаем (3.12). Теорема доказана.

Как и следует ожидать, свойство точки быть центром (т. е. то свойство, что решение, начинающееся при в произвольной точке возвращается точно в при некотором положительном очень чувствительно к возмущениям. Это иллюстрируется следующим упражнением, показывающим, что никакие условия малости функции в окрестности точки не могут гарантировать того, что точка будет для системы (3.4) центром, даже если она и была центром для системы (3.1).

Упражнение 3.1. Пусть непрерывна на отрезке и пусть при Рассмотрим систему (3.4) вида

где функция непрерывна для при Если то точка является центром. Покажите, что если для то точка для системы (3.16) является фокусом

Можно также ожидать, что и другие свойства характеризуемые равенствами, чувствительны к возмущениям (в большей степени, чем неравенствами). На самом деле это так и есть. Например, следующие два упражнения показывают, что если точка есть узел для системы (3.1) с то даже если выполняется соотношение (3.5), точка может быть для системы (3.4) фокусом независимо от того, какие элементарные делители — простые или степени 2 — имеет матрица Однако, как будет показано в теоремах 3.5 и 3.6, подходящие условия малости в окрестности точки более сильные, чем (3.5), сохраняют этот тип стационарных точек.

Упражнение 3.2. Пусть Покажите, что в области существует непрерывная функция удовлетворяющая условию (3.5) и такая, что (а) точка есть фокус для системы (3.4) или (b) система (3.4) имеет решение

при удовлетворяющее любой из семи возможных комбинаций знаков неравенствах

Упражнение 3.3. Пусть матрица задана в виде так что имеет элементарный делитель второй степени и представлена в нормальной жордановой форме. Покажите, что для существует непрерывная функция удовлетворяющая (3.5) и такая, что (а) все решения системы (3.4), стремящиеся к при являются спиралями (т. е. при спиралями являются лишь некоторые из указанных решений ни одно решение не является спиралью (Случай (b) невозможен, если решение системы (3.4) однозначно определяется начальными условиями.) См. теорему 3.3.

Теорема 3.3. Пусть матрица имеет вид Пусть непрерывна для малых и удовлетворяет (3.5), есть решение системы (3.4), стремящееся к при Тогда решение или является спиралью (т. е. при или при

Упражнение Докажите теорему 3.3.

Впоследствии мы сформулируем условия, при выполнении которых или все решения системы (3.4) в теореме 3.3 будут спиралями, или ни одно ее решение не будет спиралью; см. упр. 4.5.

Теорема 3.4. Пусть где непрерывна и удовлетворяет условию (3.5). Если или то система (3.4) имеет по крайней мере одно решение , 0, удовлетворяющее соотношениям (3.8) и (3.7) с далее, если при больших есть решение системы (3.4), такое, что при то для справедливо соотношение (3.7) и при

Упражнение 3.5. Выведите теорему 3.4 из следствия

Упражнение 3.6. Пусть и пусть непрерывна, удовлетворяет условию (3.5) и

Тогда с точностью до перепараметривации (т. е. замены на система (3.4) при больших имеет единственную пару решений таких, что при Эти решения удовлетворяют условию когда 00, а потому и соотношению (3.7) с

Упражнение 3.7. Пусть и пусть непрерывна для малых и удовлетворяет

условию (3,5). Используя теорему или упр. 2.3, найдите условия, более общие, чем (3.17), при выполнении которых система (3.4) имеет самое большее одно решение (с точностью до замены параметра), удовлетворяющее условиям

Этими упражнениями завершается рассмотрение системы (3.4) при условии (3.5). Если исключить случай центра, то условия, немного более сильные, чем (3.5), оказываются достаточными для сохранения характера стационарной точки при переходе от линейной системы (3.1) к возмущенной системе (3.4). Результаты такого рода вытекают из общих теорем, приведенных в гл. X (в частности, в Сформулируем здесь для полноты изложения некоторые из этих результатов. Вывод их на основании результатов из гл. X будет предложен в виде упражнений 3.7-3.11; см. также теорему и ее следствия в § Х.16.

Первое условие, налагаемое на связано с функцией

(так что непрерывная неубывающая функция для малых и состоит в требовании, чтобы

Оно выполнено, если, например,

при некотором так как из (3.20) следует, что при Условия типа (3.18) — (3.20) инвариантны относительно линейных замен переменных где постоянная матрица, так что в следующих ниже теоремах предположение о том, что матрица задана в нормальной форме, не влияет на общность результатов. Это замечание не применимо, если, например, функция (3.18) заменена функцией для и не предполагается, что монотонна.

Теорема 3.5. Пусть непрерывна для малых и удовлетворяет условиям (3.18) — (3.19), и пусть есть решение системы (3.4) с условием при .

(i) Пусть матрица имеет вид где Тогда существуют такие постоянные что при

Обратно, если и заранее заданные постоянные, то у системы (3.4) существует решение удовлетворяющее (3.21).

(ii) Пусть Тогда существует постоянная или постоянная такие, что или

или

Обратно, если даны постоянные то у системы (3.4) существуют решения удовлетворяющие соответственно (3.22) и (3.23).

(iii) Пусть Тогда существует постоянная такая, имеет место (3.22); обратно, гели

0, то существует решение системы (3.4), удовлетворяющее (3.22).

(iv) Пусть Тогда существуют постоянные не равные нулю одновременно, такие, что

Обратно, гели даны постоянные обе равные нулю, то система (3.4) имеет решение, удовлетворяющее (3.24).

Упражнение 3.8. Назовем теоремой 3.5 аналог теоремы 3.5, в котором условия (3.18), (3.19) заменены немного более сильным требованием:

(a) Получите утверждения (i) и (ii) теоремы 3.5 из теоремы (т. е. из одного из вариантов следствия Х.1.2). (b) Получите утверждения (iii) и (iv) теоремы 3.5 из леммы (т. е. из следствия Х.4.2).

Упражнение 3.9. Докажите теорему 3.5, используя аналог замечания 2, следующего за леммой и результат упр. 3.8.

Теорема 3.6. Пусть условия (3.18), (3.19) теоремы 3.5 заменены условием существования для малых неотрицательной неубывающей непрерывной функции такой, что

и пусть для имеет место (3.26). Тогда постоянные из (3.21), постоянная из обоих утверждениях и постоянные из (3.24) однозначно определяют решение (В частности, в случае (iv) точка есть собственный узел.)

Упражнение Получите из теоремы (т. е. из одного из вариантов следствия утверждения теоремы 3.6,

касающиеся (3.21) и Докажите на основании упр. 3.6 утверждения теоремы 3.5 относительно постоянной из (3.22).

Если матрица имеет элементарные делители второй степени, то условие (3.19) теоремы 3.5 должно быть усилено следующим образом:

При выполнении соотношения (3.20) это условие также удовлетворяется.

Теорема 3.7. Пусть непрерывна для малых и удовлетворяет (3.18), (3.28). Пусть матрица имеет вид Пусть является решением системы (3.4) с малым Тогда существует для всех и найдется или постоянная такая, что

или постоянная такая, что

Обратно, если даны постоянные то существуют решения удовлетворяющие соответственно (3.29) и

Упражнение 3.11. Выведите теорему 3.7 из следствия Для того чтобы получить утверждения, касающиеся (3.29) [или надо сделать замены зависимых переменных по формулам и независимой переменной — по формуле Если условия (3.18), (3.28) усилены до (3.25) и

то вывод теоремы из следствия Х.4.1 может быть проведен более прямым путем. В противном случае [рассуждения необходимо включают аналог замечания 2 к лемме Х.4.2; см. также следствие и упр.

Теорема 3.8. Пусть условия (3.18), (3.28) теоремы 3.7 заменены предположением у что для малых существует неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция удовлетворяющая условиям (3.27), (3.31). Тогда постоянная в (3.30) однозначно определяет решение

Упражнение 3.12. Получите теорему 3.8, (используя теорему и замену переменных из упр. 3.11.