§ 7. Теорема единственности ван Кампена

В следующей теореме единственности для задачи Коши

условия налагаются главным образом не на а на семейство решений.

Теорема 7.1. Пусть непрерывна в параллелепипеде Пусть в области существует функция обладающая следующими свойствами: 1) для фиксированной точки функция является решением задачи Коши

удовлетворяет условию Липшица относительно наконец, 3) никакие две дуги решений проходят через одну и ту же точку за исключением случая, когда для Тогда является единственным решением задачи Коши (7.1) для значений

Упражнение 7.1. Покажите, что существование непрерывной функции обладающей свойствами 1) и 3) (но не обладающей свойством 2)), не гарантирует единственности решения задачи Коши (7.1).

Упражнение 7.2. Если удовлетворяет условию Липшица относительно у, то можно показать, что функция удовлетворяющая условиям теоремы 7.1, существует (для малых см., например, упр. II.1.2. Покажите, что обратное неверно, т. е. существование функции удовлетворяющей условиям 1) — 3), не обеспечивает для выполнения условия Липшица относительно у (при у, близких к

Доказательство теоремы 7.1. Пусть любое решение задачи (7.1); мы покажем, что для малых

Условие 2) означает, что существует постоянная такая, что

Пусть Тогда любое решение задачи

Коши (7.1) удовлетворяет неравенству если Значит, функция определена и если Отсюда

где Условие 3) означает, что каждая дуга однозначно определяется любой своей точкой. Поэтому из неравенства (7.3) при следует, что

где ; см. рис. 2.

Зафиксируем на отрезке Покажем, что

Рис. 2. Случай

Для этого положим

так что Тогда из (7.5) и (7.7) получаем

Так как является решением системы проходящим через точку то ясно, что , когда Аналогично, при Тогда из (7.8) получаем, что при следовательно, существует и равна 0. Поэтому на отрезке функция постоянна и равна . В частности, так что тождество (7.6) действительно справедливо. Теорема доказана.

Упражнение 7.3 (односторонний аналог теоремы 7.1). Пусть непрерывна в Пусть в области существует функция обладающая следующими свойствами: 1) для фиксированной точки функция является решением задачи Коши (7.2); 2) существует постоянная такая, что для имеет место неравенство

Тогда является единственным решением задачи Коши (7.2) в достаточно малых отрезках расположенных справа от (единственность слева от не обязательна).