§ 5. Пример неединственности

Чтобы проиллюстрировать, как «плохо» может обстоять дела с единственностью, покажем, что существует (скалярная) функция непрерывная на -плоскости и такая, что для каждой начальной точки задача Коши

имеет более одного решения на каждом отрезке любом

Обозначим через совокупность линий

составленных из дуг, определенных на отрезках единичной длины,

Для каждого будет построено множество дважды непрерывно дифференцируемых дуг

Символ будет обозначать или множество дуг (5.3), или множество точек на этих дугах. Множество дуг (5.3) будет обладать следующими свойствами:

2) дуги имеют ровно одну общую концевую точку; 3) для каждой пары имеется по крайней мере один индекс такой, что в точке и индекс такой, что в точке любые две дуги из обладающие общей точкой, имеют в этой точке и общую касательную; отсюда 5) любая непрерывная дуга определенная, скажем на и составленная из некоторых дуг множества добавлением других дуг из может быть продолжена (и не единственным образом) на оставаясь при этом в классе (и кусочно в классе если определена в точках множества как угловой коэффициент касательной в точке то равномерно непрерывна на и дуги из 5) составляют множество решений уравнения

7) множества удовлетворяют условию так что является продолжением функции множество концевых точек где

всюду плотно; и, наконец, 9) функция

определенная на имеет (единственное) непрерывное продолжение на всю плоскость. Условие 9) является единственным нетривиальным условием. (Построение отражено на рис. 2.)

Рис. 2.

Жирные кривые соответствуют дугам из Жирные и светлые кривые соответствуют дугам из если Построение дуг из не принадлежащих описано выше дуги определены на а дуги Из этого чертежа ясно, как или делят плоскость на множества

Пусть

Предположим, что множество уже построено и таково, что: а) функции (5.3) удовлетворяют неравенствам

если

то

c) если и ни одна дуга из не лежит между то

Множество дуг будет получено из добавлением на каждом отрезке конечного числа дуг, расположенных между дугами Дуги из и эти добавленные дуги составят множество Для удобства положим Предположим, что (построения в случае аналогичны). Тогда определены на отрезке

Пусть некоторое целое число, которое будет уточнено позже. Для и положим

Тогда и

Из неравенств (5.14) ясно, что

Для на положим

и, поскольку получим, что

Равенства в (5.23), содержащие производные, следуют из того, что

Из соотношений (5.24) и получаем, что

Кроме того, в силу (5.21)

так что соотношения приводят к неравенствам

Наконец, пусть выбрано столь большим, что

Для того чтобы получить из впишем между дуги на и дуги на Из (5.19), (5.20), ясно, что тогда неравенства остаются в силе и при замене на Аналогичное; утверждение для (5.11) следует из (5.19), (5.26) и (5.27).

Этим завершается построение последовательности Ясно, что множество всюду плотно в -плоскости.

Докажем теперь непрерывность функции определяемой согласно (5.6). Пусть Дуги делят плоскость на замкнутые множества вида причем ни одна точка из не является внутренней для каждая из дуг состоит из двух дуг множества при на

Пусть и пусть любая точка границы множества Оценим разность

Рассмотрим сначала случай Тогда находится на границе и пусть, скажем, Так как то из неравенств (5.8) видно, что

Таким образом, в этом случае

Пусть Можно считать, что Пусть где является наивысшей

точкой сегмента принадлежащего Тогда в силу неравенства (5.11)

Отсюда

Если это неравенство объединить с неравенством мы получим, что

Рассмотрим теперь две точки Каждая из этих точек содержится в области описанного выше вида. Существуют точки принадлежащие границе такие, что

(где, например, если Тогда из полученной выше оценки для следует, что

Так как равномерно непрерывна на из трех последних неравенств следует, что равномерно непрерывна на 5. Поэтому имеет непрерывное продолжение на всю плоскость, которое мы также обозначим через

Теперь нужно доказать, что уравнение (5.1) обладает требуемым свойством. Ясно, что любая непрерывная дуга на составленная из дуг множества является решением уравнения (5.1). Теорема о продолжении решения 3.1 или случай теоремы 4.1 показывают, что если любая точка множества описанного выше вида, то задача Коши (5.1) имеет решение У С удовлетворяющее при условиям Тогда, используя дуги из это решение можно продолжить — причем не единственным образом — влево от (вправо от Если достаточно велико, отрезок содержащий может быть сделан произвольно малым. Утверждение доказано.

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)