Доказательство. Пусть 
настолько мало, что 
а потому 
при 
Пусть 
гладкая вещественная функция переменной определенная при 
и такая, что 
при 
при 
при 
для 
Положим 
при 
при 
Тогда 
при 
Если 
то 
и потому 
Лемма доказана.
Таким образом, если нас интересует поведение решений системы (2.1) только в малой окрестности точки 
то в соответствии с леммой 3.1 мы можем, не теряя общности, предполагать, что и
при всех 
причем
Проверим теперь, что существуют такие 
что 
при 
и если решение 
системы (2.1) представлено в виде (2.8), то
Чтобы убедиться в этом, отметим, что из (3.1) следует неравенство 
и потому решение системы (2.1) удовлетворяет оценке 
при 
Значит, для решения 
системы (2.1) выполнено неравенство 
см. для сравнения лемму IV.4.1. Таким образом, если 
где 
то 
при 
В этом случае система (2.1) приводится к виду 
при 
и решение 
равно 
т. е. в (2.8) функция 
равна 
при 
Из соотношения 
следует, что 
или
Матрица 
имеет производную 
а в силу (2.5)
Поскольку норма 
не превосходит 
при 
где 
то из леммы IV.4.1 следует, что норма 
не превосходит 
при 
Следовательно, 
и потому 
при 
Окончательно имеем
т. е. (3.4) выполняется, если положить 
отображения 
зависит от 
было бы удобно заменить 
в уравнении (2.1) функцией, определенной для всех 
совпадающей с 
при малых 
скажем при 
и равной нулю при 
Если эту новую функцию снова обозначить через 
то решение 
системы (2.1) будет определено для любого 
Таким образом, при любом 
область определения отображения 
совпадает со всем 
-пространством, и множество отображений 
действительно является группой.
при малых 
является вектор-функцией класса 
причем 
Пусть 
произвольное число. Тогда существуют такое число 
(которое стремится к нулю вместе с 
и такая функция 
класса 
определенная для всех 
что 
при 
при 
при всех 
не обязательно совпадают. Под нормой 
прямоугольной матрицы А мы будем понимать в этой главе норму А как линейного оператора из одного евклидова пространства в другое, т. е. наименьшую постоянную с, для которой 
для всех у.
