Глава X. Возмущенные линейные системы

В этой главе излагаются методы асимптотического интегрирования системы дифференциальных уравнений которую можно рассматривать как возмущенную линейную систему уравнений с постоянными коэффициентами

В § 1 этой главы исследуется простой, но важный случай Поскольку результат достигается в этом случае с помощью очень простых соображений, имеющих, однако, широкое применение, мы сочли нужным выделить его.

Один из самых важных методов, используемых в общем случае произвольного основан на простом топологическом принципе, излагаемом в §§ 2 и 3. Он широко применяется и в других главах. Совсем другой подход, приводящий к результатам, аналогичным тем, которые получены в §§ 13 и 16, обсуждается в части III гл. XII.

Для удобства изложения и большей общности мы рассматриваем в этой главе векторы с комплексными компонентами, что позволяет привести к подходящей нормальной форме с помощью линейной замены переменных; ср. § IV.9. Соответственно, если — два вектора, то через обозначается их скалярное произведение 2

§ 1. Случай Е = 0

В этом параграфе рассматривается уравнение

где вектор «мал» в некотором смысле. Основной результат содержится в следующей теореме.

Теорема 1.1. Пусть вектор-функция непрерывна при и удовлетворяет неравенству

где функция непрерывна при и такова, что

Если норма достаточно мала, например

то решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию существует при Кроме того, если функция удовлетворяет уравнению (1.1) при больших например при то

существует и если

Иными словами, решения системы (1.1) при больших ведут себя так же, как решения системы а именно как постоянные. Теорема 1.1 допускает следующее обобщение.

Теорема 1.2. Пусть вектор удовлетворяет предположениям теоремы 1.1, и пусть произвольный вектор, для которого

Тогда система (1.1) имеет по крайней мере одно решение удовлетворяющее условию (1.5) при 0. Если, кроме того, удовлетворяет условию Липшица следующего вида:

то для данного существует в точности одно решение системы (1.1), определенное для больших и удовлетворяющее (1.5).

В последней части теоремы 1.2 утверждается, что условие (1.7) позволяет установить взаимно однозначное соответствие между решениями системы и решениями системы (1.1), если предполагается, что достаточно мала и

Доказательство теоремы 1.1. Если умножить (1.1) скалярно на то из (1.1), (1.2) вытекает, что

Поскольку интегрирование неравенства (1.8) дает

если существует на -интервале, содержащем точки где В частности, если и вектор удовлетворяет условию (1.4), то существует при всех

В общем случае, если решение существует при то оно ограничено:

Отсюда получаем, что (используя для этого (1.1) и (1.2)). Следовательно, интеграл абсолютно сходится и предел (1.5) существует. В самом деле,

Заметим, что из неравенства (1.9) следует, что тогда и только тогда, когда обращается в нуль в некоторой точке Если то из первого неравенства в (1.9) следует, что Тем самым теорема 1.1 доказана.

Доказательство теоремы 1.2. Докажем вначале утверждение о существовании. Для данного обозначим через фиксированное решение (оно не обязательно единственно) следующей задачи Коши:

Поскольку неравенство (1.9) имеет место для любого для которого определено решение из (1.6) и следует, что существует при всех Следовательно, где определено в (1.10). Поэтому из (1.2) следует, что при всех следовательно, при имеем

В частности, семейство функций равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на каждом ограниченном -интервале. Следовательно, существует последовательность значений такая, что при и предел

существует равномерно на каждом ограниченном -интервале. Далее, есть решение уравнения (1.1). Полагая в (1.13) и устремляя при фиксированном получаем

Отсюда вытекает (1.5), и теорема существования доказана.

Докажем теперь единственность при условии (1.7). Пусть решения системы (1.1) при больших например при удовлетворяющих условию (1.5). Пусть Тогда из (1.1) и (1.7) следует (1.8), а потому и (1.9) при Если фиксировано, а в то отсюда вытекает, что поскольку при

Этим завершается доказательство теоремы 1.2.

Мажоранта в (1.2), содержащая множитель удобна тем, что она позволяет доказать в теоремах 1.1 и 1.2 существование некоторых решений при всех Более простой результат о существовании решения при «больших содержится в следующем упражнении.

Упражнение 1.1. Пусть функция непрерывна на произведении где ограниченное открытое -множество. Пусть при где непрерывная функция, удовлетворяющая (1.3). (а) Пусть Тогда существует число зависящее только от и функции такое, что если то решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию существует при всех Кроме того, всякое решение системы (1.1) при больших имеет предел при Пусть Тогда существует число зависящее только от и функции такое, что система (1.1) имеет при решение удовлетворяющее (1.5).

Упражнение 1.2. Покажите, что теорема 1.1 и первая часть теоремы 1.2 остаются справедливыми, если вектор непрерывен при и всех если произвольны, а условие (1.2) заменено условием

где удовлетворяет условиям теоремы 1.1, а непрерывная при функция, такая, что

Из теорем 1.1 и 1.2 можно вывести некоторые следствия, если заменить (1.1) системой

где непрерывная матрица порядка Решения системы (1.15) следует сравнивать с решениями системы

Пусть фундаментальная матрица системы (1.16), так что замена переменных

приводит систему (1.15) к виду

Применяя к (1.18) теоремы 1.1 и 1.2, получаем

Следствие 1.1. Пусть матрица непрерывна при фундаментальная матрица системы (1.16). Предположим, что функция непрерывна при и всех причем

где функция удовлетворяет предположениям теоремы 1.1. Обозначим через решение системы (1.15), определенное на некотором -интервале. Тогда существует при всех , предел

существует и если обратно, для заданного существует решение системы (1.15), удовлетворяющее (1.20).

Если матрица ограничена при то мы можем сформулировать соответствующий результат, если определена лишь при Кроме того, мы можем получить аналог утверждения о единственности в теореме 1.2. Если — постоянная матрица, то следствие 1.1 принимает следующий вид:

Следствие 1.2. Пусть функция непрерывна при и всех и удовлетворяет неравенству

где — такая же функция, как и в теореме 1.1. Пусть решение уравнения

определенное на некотором -интервале. Тогда определено при всех 0, существует

если кроме того, если задано то существует решение системы (1.22), определенное при всех и удовлетворяющее (1.20).

Упражнение 1.3. Сформулируйте теоремы, соответствующие следствиям 1.1 и 1.2 так же, как упражнения 1.1 и 1.2 соответствуют теоремам 1.1 и 1.2.

В общем случае результат такого который сформулирован в следствии 1.2, удобен только тогда, когда матрицы

ограничены при Например, предположим, что так что Тогда, если выполнены условия следствия 1.2, система (1.22) имеет решение вида при но не обязательно имеет решение вида при Кроме того, условие (1.21) может оказаться слишком жестким для того, чтобы иметь возможность делать такие же выводы, как в следствии 1.2. Результаты, полученные в оставшейся части этой главы, гораздо сильнее; они получены при менее ограничительных условиях, чем те, которые рассматривались выше.

Упражнение 1.4. Предположим, что (1.1) является линейной однородной системой вида

и матрица непрерывна при Будем говорить, что система (1.23) принадлежит классу если (i) каждое решение системы (1.23) имеет предел при для каждого постоянного вектора существует решение системы (1.23), такое, что при Покажите, что (1.23) принадлежит классу тогда и только тогда, когда для каждой (или для какой-нибудь одной) фундаментальной матрицы системы (1.23) существует предел при который является невырожденной матрицей (и что это верно тогда и только тогда, когда существует при сходится хотя бы условно), (b) Система (1.23) принадлежит классу в том и только в том случае, если сопряженная система принадлежит классу Система (1.23) принадлежит классу если (или, что эквивалентно, если при

Это сразу же следует из теорем 1.1, 1.2. (d) Покажите, что (с) имеет следующее следствие (являющееся уточнением система (1.23) принадлежит классу если сходится (возможно, только условно) и либо либо