§ 11. Обобщения

Методы последнего параграфа применимы и в более общих случаях, которые будут указаны ниже. Результаты, изложенные в нем, можно рассматривать со следующих точек зрения. Во-первых, при каких условиях [необходимых и (или) достаточных] функционал заданный формулой (10.22), будет положительно определенным для всех на некоторых классах функций или Во-вторых, если это так, то какие следствия можно получить для решений соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа (10.1) или их гамильтоновой формы

В этом параграфе рассматриваются аналогичные задачи, но требование положительной определенности оператора заменяется более слабым, а классы более узкими классами функций . В частности, мы потребуем, чтобы подходящие функции удовлетворяли некоторым условиям, а именно некоторым линейным дифференциальным уравнениям (как в задаче Больца из вариационного исчисления).

Пусть суть непрерывные -матрицы, определенные на Рассмотрим функционал

Рассмотрим, кроме того, систему из линейных дифференциальных уравнений первого порядка

где суть -матрицы, элементами которых являются непрерывные на комплексные функции. Предполагается,

что эрмитова матрица

является невырожденной. В частности, и ранг матрицы равен

Для вариационной задачи, связанной с функционалом (11.1) при условиях (11.2), уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

где — это -мерный вектор. (Вывод уравнений (11.4) и отыскание значения вектора здесь не приводится.) Матрица, обратная к (11.3), имеет вид

имеет размеры размеры размеры Введем переменные

Тогда уравнения (11.5), (11.7) могут быть записаны в виде ) или т. е. Поэтому уравнения (11.4) и (11.5) переходят в систему

где

В частности, из (11.8) следует (11.5).

Предполагается, что

Соответственно, в силу (11.3) и (11.6),

неотрицательно определенная матрица ранга (так что если

Для систем вида (11.8) следует отметить один факт, не имевший места в предыдущем параграфе. А именно, если решение системы (11.8), то из этого не следует, что определяется по Этой трудности можно избежать, введя дополнительное

предположение:

оно означает следующее: если решение системы (11.8) таково, что на некотором подинтервале в то на

Понятия «система без сопряженных точек», «сопряженные решения системы «самосопряженные решения системы могут быть введены так же, как и выше.

Упражнение 11.1. Проверьте справедливость аналогов теорем 10.1 и 10.2. (Как и при доказательстве теоремы 10.2, следует вынести в конец половину доказательства утверждения, касающегося открытого интервала

Пусть классы [или вектор-функций определены, как и выше, но с одним дополнительным условием: удовлетворяет уравнениям (11.2) всюду, за исключением -множества меры нуль.

Упражнение 11.2. Проверьте справедливость аналога теоремы 10.3. Для доказательства заметьте, что если решение системы (11.8), то решение системы (11.2). Поэтому если решение системы (10.9), то Следовательно, если решение системы (11.2) и то так что если только

Упражнение 11.3. Пусть имеет ранг (так что неотрицательная матрица); обозначим через единственный неотрицательный эрмитов квадратный корень из (поэтому непрерывная функция; см. упр. XIV.1.2). Если имеет ранг обозначим через ортогональную проекцию векторного пространства на нулевое многообразие матрицы и положим Действительно, можно заменить в (11.1), (11.2) на поскольку если Используя сформулируйте и докажите аналог следствия 10.1. (Для справедливости (10.33) понадобится дополнительное условие: вектор-функция должна удовлетворять

Упражнение 11.4. Проверьте справедливость аналогов теорем 10.4 и 10.5, определив главное решение подобно тому, как это было сделано раньше.

В качестве примера и приложения рассмотрим формально самосопряженное дифференциальное уравнение порядка для скалярной функции и

причем

где вещественные функции на интервале

и функции имеют непрерывных производных. Для данной функции из класса на определим вектор следующим образом:

при где Оператор является формально самосопряженным в силу формулы Грина:

где вектор строится по так же, как у строится по и. В частности, если решения уравнения (11.14), то

где соответствует Если эта постоянная есть 0, то решения называются сопряженными. Если и решения и, являются сопряженными, то и называется самосопряженным решением. (Если так что уравнение (11.14) имеет вещественные коэффициенты, то все вещественные решения являются самосопряженными.) Рассмотрим функционал

Формально интегрируя по частям и замечая, что проинтегрированные члены обращаются в нуль, если при получаем

Тогда функционал является функционалом типа (11.1) для и условия (11.2) означают, что

Здесь

суть -матрицы

Соответственно, —матрица с единицами над диагональю, диагональные элементы которой равны а остальные элементы — нулю; и С — эрмитова матрица, у которой элементы над диагональю равны на диагонали стоят элементы Все остальные элементы равны нулю.

Если решение системы (11.8), то где — решение уравнения (11.13), а компоненты вектора у находятся из (11.16). Обратно, если — решение уравнения (11.13), то, отыскивая х, у по этим правилам, мы получим решение (11.8). Условие (11.15) обеспечивает выполнение условий (11.3), и (11.12).

Заметим, что если решение системы (10.9) и столбец матрицы равен где решение уравнения (11.13), то — это определитель Вронского для решений Решение является самосопряженным тогда и только тогда, когда сопряженные решения уравнения (11.13) при

Упражнение 11.5. Сформулируйте аналог теоремы 10.3, определяя классы в терминах скалярной функции и.

Рассмотрим, наконец, аналог следствия 10.1; с упр. 11.3. Поскольку матрица равна Вектор удовлетворяет условиям, аналогичным (11.2), тогда и только тогда, когда имеет вид для некоторой скалярной функции

В этом случае значение оператора (10.29) является вектором вида

где есть дифференциальный оператор порядка суть непрерывные комплексные функции. На самом деле, из (10.29) следует, что Ясно также, что если есть столбец матрицы Поскольку определитель Вронского для решений равен , отсюда следует, что это система из линейно независимых решений уравнения

Таким образом, если обозначить через определитель вронского для функций то

Для того чтобы доказать это, заметим, что выражение в правой части этого равенства является дифференциальным оператором порядка со старшим коэффициентом и решениями Поэтому, если левую часть в (11.19) записать очевидным образом в виде линейной однородной системы для то эта система имеет фундаментальное решение так что Этим доказано равенство (11.20).

Упражнение 11.6. Если уравнение (11.13) имеет решения на которые являются попарно сопряженными (или самосопряженными) и имеют не равный нулю определитель Вронского на то для всех функций и из класса на Здесь мы использовали следующее обозначение: если то где сумма 2 берется по значениям

ПРИМЕЧАНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)