§ 4. Линейные уравнения второго порядка (продолжение)

В этом параграфе изучается поведение функции где — некоторые решения уравнений

монотонная функция. Доказательство основной теоремы этого параграфа основано на результатах, аналогичных тем, которые были получены в связи с (3.15), (3.16), и на следующей простой лемме.

Лемма 4.1. Предположим, что непрерывная при функция и

причем эта функция монотонна, так что

или

Тогда существуют вещественные решения уравнения (4.1), такие, комплексное решение удовлетворяет соотношению

при случае

или

Замечание 1. Полезно отметить, что в неравенство выполняется при если заменить условия условиями при при для некоторого фиксированного см. конец доказательства этой леммы.

Доказательство. Если то существование решений удовлетворяющих (4.4), вытекает из результата упр. или XI.8.4 (b); см. (3.15) и (3.16). Если то функцию можно доопределить до непрерывной функции в точке так что доказательство существования решений тогда становится тривиальным.

Из леммы 3.1 видно, что для доказательства утверждений достаточно доказать при условии Рассмотрим при

фиксированном решение уравнения (4.1), равное

Заметим, что в силу (4.4), при Поэтому

По теореме из условия вытекает справедливость соотношений Поскольку в силу при мы имеем

В частности, При фиксированном выберем так, чтобы и Это дает первое из четырех неравенств в Аналогично, из (4.7) следует, что если При фиксированном выберем так, чтобы По неравенству Шварца, так что Отсюда мы получаем второе из неравенств Два оставшихся неравенства доказываются аналогично. Этим завершается доказательство леммы 4.1.

Как и в замечании 1, сопровождающем лемму 4.1, заметим, что определитель Вронского для равен 1:

в силу (4.4). По лемме 4.1, неравенства справедливы при так что Выберем так, чтобы Тогда решение и удовлетворяет начальным условиям

Если при то» используя выпуклость, можно показать, что при Отсюда и потому при Как и выше, Этим доказано замечание 1.

Упражнение 4.1. Докажите, что если выполнены условия леммы 4.1, то в обоих случаях

Лемма 4.2. Пусть функция принадлежит классу при а функция

удовлетворяет условию

причем либо

либо при некотором

Тогда уравнение (4.1) имеет такую пару вещественных решений решения при выполнено соотношение

и при либо

либо

в соответствии с тем, какое условий имеет место.

Замечание 2. Заметим, что если функция принадлежит классу то имеет непрерывную производную

Поэтому если

Замечание Если функция удовлетворяет условиям леммы 4.2 и монотонна при больших причем то условие (4.10) излишне. В самом деле, из монотонности следует, что функция не меняет знака для больших так что в силу (4.9) функция монотонна. Поэтому интеграл

имеет предел при Поскольку монотонна при больших отсюда вытекает (4.10).

Доказательство. После преобразования Лиувилля

уравнение (4.1) переходит в уравнение

и определяется из Интервал переходит при этом в некоторый s-интервал: .

В силу леммы 4.1 и последующего замечания дифференциальное уравнение (4.16) обладает парой вещественных решений таких, что функция при удовлетворяет соотношениям

и соотношениям, аналогичным если заменить на В частности, или в соответствии с тем, какое из соотношений или выполняется. В силу (4.15) уравнение (4.1) имеет решения так что в точке Тем самым лемма 4.2 доказана.

Теорема 4.1. Пусть функции удовлетворяют условиям леммы 4.1 с

Если выполнено условие то

Если, кроме того, функция непрерывна при О при при больших то

(ii) Если выполнено условие то

Доказательство. Пусть Продифференцировав функцию дважды, мы получаем в силу (4.1), что

Так как условия означают, что или отсюда вытекают первое и последнее из неравенств (4.17), (4.19). Аналогично, если то так что выполнено третье из неравенств (4.18).

Как видно из функция ограничена при если для больших Поэтому неравенство следует из неравенств в (4.18). Аналогично, неравенство вытекает из неравенств в (4.19). Теорема доказана.

Следствие 4.1. Пусть функция непрерывна при и принадлежит классу при Пусть а при выполнены неравенства (4.14). Тогда справедливы соотношения (4.18).

Упражнение 4.2. Рассмотрите уравнение Бесселя

Вариацией постоянных это уравнение можно преобразовать в уравнение

так что если соответственно. Вещественные решения уравнения (4.21) таковы, что при некотором вещественном значении функция

удовлетворяет соотношениям при Используя эти факты, докажите, что

Кроме того,

(с) Функция удовлетворяет (4.18) или (4.19) при если соответственно или Докажите, что

Упражнение 4.3. Пусть Предположим, что функция непрерывна при и имеет непрерывных производных, таких, что при Докажите, что уравнение (4.1) имеет такую пару решений что и если то при при для В то же время или при если или соответственно; см. Хартман [22]. (b) Пусть и вещественное решение уравнения (4.1), равное нулю в точках Пусть так что Докажите, что при