Глава IX. Инвариантные многообразия и линеаризация

В этой главе рассматривается поведение решений автономной системы (произвольной размерности) в окрестности стационарной точки простого типа или в окрестности периодического решения. Большая часть полученных здесь результатов будет перенесена в следующей главе на неавтономные системы совершенно другими методами; см., например, § IX.6, §§ X. 8 и Х.11. Однако вспомогательные предложения этой главы, касающиеся локальных отображений одного евклидова пространства в другое, интересны сами по себе, позволяют получить ряд результатов, недостижимых другими методами, и применимы для изучения как стационарных точек, так и периодических решений.

§ 1. Инвариантные многообразия

Пусть для каждого (вещественного) определено непрерывное отображение окрестности точки в евклидовом -пространстве в некоторую другую окрестность той же точки и Множество 5 называется инвариантным относительно семейства отображений если для всех Множество 5 называется локально инвариантным относительно если существует такое что для любого и всякого удовлетворяющего условию при мы имеем

Задача изучения поведения решений гладкой автономной системы вблизи стационарной точки сводится в некоторых случаях к сравнению решений линейной системы с постоянными коэффициентами

с решениями возмущенной системы

Если не оговорено противное, мы будем предполагать, что принадлежит классу при малых и

или, что эквивалентно,

где матрица Якоби.

Пусть решение системы (1.2), удовлетворяющее начальному условию При фиксированном рассмотрим как отображение окрестности точки в -пространстве в некоторую другую окрестность той же точки. Отображение определено на множестве точек для которых решение определено при ; (Отображения образуют локальную группу; см. (2.2).)

Множество 5 в -пространстве, (локально) инвариантное относительно семейства отображений мы будем называть (локально) инвариантным относительно системы (1.2). Таким образом, множество инвариантно (или локально инвариантно) относительно системы (1.2) тогда и только тогда, когда из следует, что для всех на максимальном интервале существования решения (или существует такое что если при

Если инвариантное множество, то пересечение 5 с шаром локально инвариантно. Обратно, если локально инвариантное множество, то множество инвариантно. Таким образом, исследование инвариантных множеств можно свести к изучению локально инвариантных множеств, и обратно. Это удобно для нас в связи с тем, что если изменить вне малого шара и определить для новой системы дифференциальных уравнений инвариантное множество 50, то пересечение с шаром локально инвариантно для первоначальной системы уравнений (2.1).

Понятие локально инвариантного множества удобно и по другим причинам. Условия, налагаемые на имеют «локальную» природу, и нет причин ожидать, что инвариантные множества будут устроены достаточно просто, поскольку понятие инвариантности является «глобальным». Например, предположим, что и что система (1.2) имеет два решения определенные при — и стремящиеся к нулю при как это показано на рис. 1. Тогда множество состоящее из точки и точек является инвариантным. Таким образом, это кривая с самопересечением. Но каждое из множеств или при достаточно малом является локально инвариантным и представляет собой дугу класса После линейной замены переменных с постоянной матрицей

система уравнений (1.2) переходит в систему

Предположим, что матрица выбрана таким образом, что

где суть -матрицы с собственными значениями соответственно, где и

Представим вектор в виде где у — вектор размерности размерности Тогда

Рис. 1.

Таким образом в новых переменных система линейных уравнений (1.1) распадается на две системы:

Решение системы (1.9), удовлетворяющее начальным условиям , будет таким, что где целое, любое число, а достаточно велико; см. § IV.5. Кроме того, если некоторое решение системы (1.9) и при некотором и больших то Поэтому -мерная плоскость в пространстве инвариантна относительно (1.9) и образована всеми решениями удовлетворяющими неравенству некотором и при больших

Рассмотрим сначала один вопрос, касающийся системы (1.2): будет ли для этой системы иметь место аналогичная ситуация?

Точнее, существует ли для системы (1.2) или (1.6), записанной в виде

где принадлежат классу при малых и таковы, что

-мерное локально инвариантное многообразие вида определенное при малых и будет ли это многообразие в окрестности точки заполнено решениями системы (1.10), удовлетворяющими условию при и больших В § 6 будет показано, что на этот вопрос можно ответить положительно.