§ 4. Теорема Пуанкаре — Бендиксона

Рассмотрение дифференциального уравнения начатое в § 1, теперь будет продолжено для плоского случая с применением теоремы Жордана. Основным результатом здесь является следующая теорема Пуанкаре — Бендиксона:

Теорема 4.1. Пусть поле непрерывно в открытом плоском множестве и пусть есть решение уравнения

имеющее компактное замыкание в Предположим, кроме того, для что не содержит стационарных точек. Тогда состоит из точек у периодического решения уравнения (4.1). Далее, если наименьший период решения то для т. е. кривая является жордановой.

Если задачи Коши для уравнения (4.1) имеют единственные решения, то либо для либо решение является периодическим (т. е. при всех для некоторого фиксированного положительного числа В последнем случае (исключенном в теореме 4.1) множество совпадает с множеством

Из доказательства теоремы 4.1 будет видно, что является спиралью, наворачивающейся на замкнутую кривую или извне, или изнутри; см. рис. 4. Будет установлено также такое

Следствие 4.1. Пусть выполнены предположения теоремы 4.1, и пусть период решения Тогда существует последовательность такая, что

равномерно относительно и

Доказательство теоремы 4.1. Прямолинейный отрезок называется трансверсалью для уравнения (4.1), если ни в одной точке вектор и не параллелен отрезку

Рис. 4.

Все пересечения с решением уравнения происходят в одном и том же направлении при увеличивающемся

Доказательство разобьем на пять этапов.

(a) Пусть трансверсаль, проходящая через Тогда из теоремы Пеано следует, что найдутся малая окрестность точки и число такие, что каждое решение задачи Коши для существует в отрезке и пересекает при этих значениях точно один раз. В самом деле, если взять произвольное то могут быть выбраны так, что существует и отличается от при не больше чем на Значит, если окрестность достаточно мала, то решение пересекает по крайней мере один раз, но в то же время оно при может пересечься с не больше одного раза, так как пересечения его с должны иметь одинаковые направления.

В частности, отсюда следует, что если решение уравнения в некотором конечном отрезке, то пересекается с самое большее конечное число раз.

(b) Пусть трансверсаль, которую без потери общности можно считать отрезком -оси, где Предположим,

что пересекается с в точках, отвечающих значениям тогда (4) будет строго монотонной функцией от

Чтобы убедиться в этом, предположим без потери общности, что при пересечениях с значение возрастает (т. е. при пересечении меняет знак с минуса на плюс). Рассмотрим случай см. рис. 5. Множество, состоящее из дуги и прямолинейного отрезка на -оси, образует жорданову кривую Для всех точки лежат или во внешней, или во внутренней областях кривой в силу предположений относительно и того факта, что пересечения происходят только в одном направлении. Отсюда ясно, что и это рассуждение можно продолжить далее для остальных точек.

Рис. 5.

(c) Проверим теперь, что если трансверсаль, то содержит самое большее одну точку из Действительно, если то из (а) следует, что пересекает бесконечное число раз (а именно всякий раз, когда она проходит достаточно близко от точки С увеличением точки пересечения монотонно стремятся к вдоль согласно Значит, множество не может содержать точки, отличной от

Так как ограничено, то не пусто. Пусть По теореме 1.2 задача Коши имеет решение содержащееся в значит,

Множество не пусто. Пусть так что точка регулярная, поскольку не содержит стационарных точек. Поэтому через точку проходит трансверсаль имеет вблизи бесконечное число пересечений с но и каждое пересечение принадлежит Согласно (с), все эти точки должны совпадать. В частности, существуют такие,

что Значит, уравнение (4.1) имеет периодическое решение периода такое, что о (0 для Поскольку ни на одном -интервале не обращается в постоянную, можно считать, что для

Покажем, что совпадает со своим подмножеством Если это не так, то множество не пусто. Тогда содержит точку являющуюся предельной точкой для так как связно по теореме 1.1.

Рис. 6.

Пусть трансверсаль, проходящая через Любой малый шар с центром в содержит точки Для любой такой точки уравнение имеет решение такое, что в силу теоремы 1.2. Если точка достаточно близка к то пересекает трансверсаль Согласно (с), это пересечение должно быть обязательно в точке

Так как то такое пересечение невозможно, если задачи Коши для (4.1) имеют единственные решения. В общем случае этот факт можно доказать следующим образом. Пусть в то время как для Так как точка регулярная, найдется трансверсаль проходящая через Тогда малое смещение трансверсали в подходящем направлении дает трансверсаль которая пересекает в двух различных точках; см. рис. 6. Это противоречит части (с). Теорема доказана.

Замечание. В последующем нам потребуется такой факт: рассуждения пункта показывают, что если обладает свойством и если точка регулярная, то у точки найдется такая окрестность что решение задачи единственно. Если, кроме того, связно и в существует периодическая орбита состоящая только из регулярных точек, то

Доказательство следствия 4.1. Пусть и пусть трансверсаль, проходящая через Пусть последовательные пересечения происходят в точках Тогда стремится к монотонно вдоль Поскольку единственное решение задачи то из аналога замечания 2 к теореме 1.2 видно, что в (4.2) сходимость равномерна на каждом отрезке, в частности на

Заметим, что при Следовательно, если велико, то пересекает в отрезке Отсюда Кроме величина мала при больших откуда следует, что существует такое, что для В частности, для значений не существует пересечений с Следовательно, при больших Тем самым следствие 4.1 доказано.

Теорема 4.2. Пусть определены так же, как в теореме 4.1 с той лишь разницей, что содержит конечное число стационарных точек уравнения (4.1). Если то применима теорема 4.1. Если состоит из одной точки, то применимо следствие 1.1. Если не вырождается в точку, то состоит из стационарных точек и конечной или бесконечной совокупности орбит проходящих через стационарные точки и таких, что пределы при существуют и совпадают с одной из точек

Может оказаться, что Не утверждается, что есть максимальный интервал существования решения Но если начальные условия определяют решение уравнения (4.1) единственным образом, так что единственное решение уравнения (4.1), проходящее через стационарную точку есть то тогда см. лемму II.3.1.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда не вырождается в точку. Так как множество по теореме 1.1 связно, оно содержит регулярные точки Для любой такой точки у о у задачи существуют решения остающиеся при всех Пусть С обозначает любое такое решение.

Рассмотрим только Случай разбирается аналогично. Могут быть две возможности: (i) существует первое положительное значение для которого является стационарной точкой (т. е. одной из точек или не является стационарной точкой ни при каком конечном

Рассмотрим случай Если содержит регулярную точку согласно части (d) доказательства теоремы 4.1, содержит траекторию периодического решения Но тогда содержит стационарную точку в противном случае, согласно части и замечанию к доказательству теоремы 4.1, . Но это невозможно, так как при Значит, в случае (ii) множество может содержать только стационарные точки, и так как оно связно, то состоит лишь из одной стационарной точки у.

Итак, в случае есть стационарная точка и при согласно следствию 1.1. Значит, любая регулярная точка принадлежащая множеству указанного типа, находится на дуге

Остается показать, что множество таких дуг не более чем счетно. Заметим, что если точка регулярная, то указанное выше решение является единственным в достаточно малом интервале с частью и замечанием после доказательства теоремы 4.1. Следовательно, никакие две дуги решения друг с другом встретиться не могут.

Так как то можно считать, что при не совпадает ни с одной из стационарных точек В противном случае можно заменить на при подходящем Кроме того, если точка регулярная, то для так как последовательность пересечений с трансверсалью, проходящей через стремится к строго монотонно; см. часть (b) доказательства теоремы 4.1. Значит, не могут иметь общей точки.

Допустим, что существует несчетное множество дуг Со, относительно которых тогда можно предположить, что они соединяют одну и ту же пару стационарных (не обязательно различных) точек. Любая пара этих соединяющих дуг (или одна дуга) образует жорданову кривую Так как жордановых кривых с попарно непересекающимися внутренними областями существует не более чем счетное множество, то найдутся три различные кривые скажем такие, что будет содержаться в замыкании внутренних областей кривых Но это невозможно, так как не пересекается с и находится или между и или между

В следующей теореме мы снимаем предположение о том, что

Теорема 4.3. Пусть непрерывна в открытом плоском множестве и пусть есть решение уравнения (4.1) для с компактным замыканием в Тогда содержит замкнутую (периодическую) орбиту уравнения (4.1), которая может свестись к одной стационарной точке

Доказательство. Предположим, что не содержит стационарных точек. Пусть и пусть есть решение, существование которого гарантируется теоремой 1.2, так что Так как замкнуто, Если Для то является по теореме 4.1 замкнутой орбитой Если же для некоторых с условием то содержит периодическую траекторию с периодом совпадающую с при Значит, в любом случае содержит замкнутую орбиту

Теорема 4.4. Пусть функция непрерывна в открытой односвязной плоской области где и пусть есть решение уравнения (4.1) на его максимальном интервале существования Тогда выходит из любого компактного подмножества когда

Доказательство. Если, например, содержится в некотором компактном подмножестве для некоторого то по теореме II.3.1 и содержит периодическое решение в силу теоремы 4.3. Так как в то функция ни на каком -интервале не может быть постоянной. Пусть будет первым значением для которого Тогда кривая является жордановой. Значит, уравнение (4.1) имеет периодическое решение о (0 периода такое, что для Так как область односвязна, то внутренняя область кривой содержится в По теореме 3.1 во внутренней области кривой тогда должна содержаться стационарная точка, что противоречит условию Теорема доказана.