§ 2. Топологический принцип

Пусть суть -мерные векторы с вещественными или комплексными компонентами, а непрерывная функция определена на открытом множестве в пространстве переменных Пусть некоторое открытое подмножество в с границей Через обозначим замыкание Напомним (см. § III.8), что точка называется точкой выхода из области по отношению к системе

если для каждого решения системы (2.1), удовлетворяющего начальному условию

существует такое что для Точка выхода из области называется точкой строгого выхода из области если при для некоторого малого Множество точек выхода из области мы будем обозначать через а множество точек строгого выхода — через

Если топологическое пространство и V — подмножество в то непрерывное отображение : определенное на всем называется ретракцией на V, если сужение на V является тождественным отображением, т. е. для всех и для всех Если ретракция на V существует, V называется ретрактом Это понятие можно проиллюстрировать следующими примерами, которые будут использоваться в дальнейшем.

Пример Пусть некоторый -мерный шар в евклидовом -пространстве и V — его граничная сфера Тогда V не является ретрактом В самом деле, если бы существовала ретракция : то существовало бы и отображение в себя, а именно отображение не имеющее неподвижных точек, что невозможно в силу классической теоремы Брауэра о неподвижных точках (относительно последней теоремы см. Гуревич и Волмэн [1, стр. 64—65]).

Пример 2. Пусть С - «цилиндр», являющийся произведением евклидовой сферы и евклидова -пространства, так что , и произвольно}. Пусть — сечение цилиндра С, например фиксировано}; см. рис. 1. Тогда множество фиксировано} является ретрактом цилиндра С [в этом можно убедиться,

взяв в качестве ретракции отображение но не является ретрактом пример 1.

Теорема 2.1. Пусть функция непрерывна на открытом -множестве и обладает тем свойством, что решение системы (2.1) определяется однозначно начальными условиями. Пусть открытое подмножество в такое, что т. е. все точки выхода из области являются точками строгого выхода.

Рис. 1.

Пусть такое непустое подмножество в что является ретрактом но является ретрактом множества Тогда существует по крайней мере одна точка для которой график решения задачи Коши (2.1), (2.2) содержится в на своем правом максимальном интервале существования.

Рис. 2.

В качестве иллюстрации рассмотрим систему (2.1), когда у — вещественная переменная и функция непрерывна на множестве совпадающем со всем пространством точек Пусть полоса см. рис. 2. Часть границы лежащая в состоит из двух прямых Предположим, что

так что Пусть отрезок прямой, Тогда состоит из двух точек и является ретрактом множества но не является ретрактом Поэтому из теоремы 2.1 следует, что существует хотя бы одна точка такая, что решение системы (2.1), определенное условием существует и удовлетворяет неравенству при всех

Доказательство теоремы 2.1. Предположим, что эта теорема не верна. Тогда для существует такое число что решение задачи Коши (2.1), (2.2) определено при при Определим отображение следующим образом: если ( если Поскольку решение системы (2.1) непрерывно зависит от начальных условий (теорема и отображение непрерывно. Чтобы доказать это, рассмотрим решение системы (2.1), для которого функция непрерывна. Предположим, что и точка 0°, близка к Тогда существует на отрезке при некотором при причем если Значит, и потому непрерывно зависит от 0°, т. е. непрерывно по Аналогичное рассуждение проходит и в случае, когда

Пусть : есть ретракция множества на Тогда композиция отображений является ретракцией на Существование такой ретракции приводит к противоречию и доказывает теорему.

Упражнение 2.1. Пусть топологическое пространство, и подмножества в Множество называется квазиизотопическим деформационным ретрактом множества в если существует непрерывное отображение : при котором для для для для фиксированного из полуинтервала отображение есть гомеоморфизм на его образ. Пусть удовлетворяют условиям теоремы 2.1; — подмножество в непустое подмножество в такое, что не является квазиизотопическим деформационным ретрактом Тогда существует хотя бы одна точка для которой график решения задачи (2.1), (2.2) либо лежит в на своем правом максимальном интервале существования, либо пересекает впервые в точке, принадлежащей множеству