§ 12. Уравнения высших порядков

Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка

в котором коэффициенты являются однозначными аналитическими функциями в «пунктированном» круге Вместо того чтобы представлять уравнение (12.1) обычным способом как систему первого порядка, преобразуем его в систему относительно вектора где

Гогда

Таким образом, точка будет для этой системы простой особой точкой, если функция является аналитической в точке при т. е. если имеет в точке самое большее полюс первого порядка, самое большее полюс второго порядка, самое большее полюс порядка. Положим в этом случае

где постоянные, а ряд, стоящий в правой части, сходится при Тогда уравнение (12.1) имеет вид

где функции являются в точке аналитическими. Система (12.3) соответственно переписывается в виде (11.1), где В — постоянная матрица вида

Матрица коэффициентов правой части системы (12.3) сводится к постоянной матрице если для Это соответствует случаю, когда (12.1) имеет вид

где постоянные. Уравнение (12.7) называется дифреренциальным уравнением Эйлера. Его решения легко определить, если учесть, что фундаментальная матрица для соответствующей системы (12.3) равна см. замечание, следующее за (11.3). Гогда, как известно, решения уравнения (12.7) являются линейными комбинациями функций вида

Числа и допустимые значения определяются по нормальной жордановой форме матрицы В. Очевидно, уравнение (12.7) имеет решения в том и только том случае, когда является собственным значением матрицы В. Подставляя в (12.6), видим, что этот случай возможен тогда и только тогда, когда где

Уравнение называется для уравнения (12.5) характеристическим.

Пусть различные решения уравнения с соответствующими кратностями где Тогда множество линейно независимых решений уравнения (12.7) состоит из функций вида где

Упражнение 12.1. (а) Докажите последнее утверждение с помощью рассуждений такого же типа, что и в § 8 (vi) (после упр. 8.1).

(b) Замечания, касающиеся систем (11.1) и (11.3), показывают, что замена переменной приводит систему (12.3), соответствующую уравнению (12.7), к системе с постоянными коэффициентами. Непосредственной проверкой убедитесь, что подстановка приводит (12.7) к уравнению с постоянными коэффициентами, и получите отсюда, что утверждение (а) вытекает непосредственно из § 8 (vi).

Вернемся к общему уравнению (12.1) и соответствующей системе (12.3). Докажем следующую теорему.

Теорема 12.1 (Фукс). Пусть функции являются однозначными и аналитическими в области Тогда для тогог чтобы точка являлась для системы (12.3) регулярной особой, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке система (12.3) имело простую особенность (т. е. необходимо и достаточно, чтобы ряд в правой части формулы (12.4) сходился).

Ясно, что точка является для системы (12.3) регулярной особой в том и только том случае, когда решения уравнения (12.1) представляют собой линейные комбинации функций вида где является функцией, аналитической при

Доказательство. Достаточность условия следует из теоремы 11.1 Остается доказать лишь необходимость.

Из теоремы 10.1 следует, что уравнение (12.1) имеет по крайней мере одно решение вида где функция аналитическая в кольце Если предположить, что точка о является для системы (12.3) регулярной особой точкой, то функция будет иметь в самое большее полюс. В действительности за счет выбора можно считать, что является в точке аналитической. В частности, для малых

Доказательство будем вести индукцией по Рассмотрим сначала уравнение 1-го порядка

с решением где аналитична в точке Ясно, что функция имеет в точке самое большее полюс порядка

Предположим, что и что теорема для уравнений порядка справедлива. Пусть является решением описанного выше типа. Введем для малых новую зависимую переменную Тогда (12.1) перейдет в уравнение вида

которое для функции будет уравнением порядка.

Легко видеть, что

и так как является решением уравнения (12.1),

где через обозначены сочетания из по

Уравнение (12.9), как уравнение порядка для имеет решение определяемое произвольным решением и уравнения (12.1). Следовательно, точка является регулярной особой точкой для системы, связанной с (12.9). Поэтому по предположению индукции функция является в точке аналитической, Значит, имеет в точке самое большее полюс порядка Тогда из (12.10) и (12.11) следует, что имеет в точке самое большее полюс порядка полюс порядка 2 и т. д. Теорема доказана.

Упражнение 12.2. Пусть функции аналитические в кольце Точка называется для уравнения (12.1) простой особой (или регулярной особой) точкой, если она является простой особой (или регулярной особой) точкой для системы (12.3); ср. упр. 11.2. (а) Для того чтобы точка была для уравнения (12.1) простой особой, необходимо и достаточно, чтобы при Пусть функции аналитические при Точки будут для (12.1) простыми особыми точками в том и только в том случае, когда функции имеют вид где полином степени не больше чем (Дифференциальные уравнения с такими свойствами называются уравнениями типа Фукса.)

Для уравнения (12.5) второго порядка с регулярной особой точкой изучение поведения фундаментальных решений является сравнительно простой задачей. Решения уравнения можно попытаться сначала определить в виде ряда

с помощью метода неопределенных коэффициентов. Если корни характеристического уравнения и (12.8)] таковы, что разность не является целым числом, то мы получим в этом случае два решения вида (12.12) с см. следствие 11.2. Если есть целое число, то таким путем

мы все еще можем получить одно решение и вида (12.12) с ; см. лемму 11.4. Второе линейно независимое решение может быть получено, согласно результату из равенства

Упражнение 12.3. Изучите поведение решений в (конечных) особых точках следующих уравнений: (уравнение Бесселя); (уравнение Лежандра); (присоединенное уравнение Лежандра).