§ 7. Случай «лямбда» меньше 0

В случае аналогом теоремы 6.1 является следующая

Теорема 7.1. Пусть фиксированы, Тогда существуют число и непрерывная возрастающая функция определенная при а и такая, что а есла и решение задачи

то условия и (5.3) имеют место в том и только в том случае, когда и причем

Таким образом, при фиксированных из полуинтервала задача (5.1) — (5.3) имеет одно и только одно решение, если Когда решение не существует, а когда существует семейство решений. При доказательство единственности, приведенное в предыдущем параграфе, не проходит, поскольку функция, стоящая в правой части равенства (6.14), не убывает с ростом

В одном месте доказательства мы используем простые оценки из упр. XI.9.7 для решений уравнения Вебера, существование которых следует из упр. Рассмотрим сингулярную краевую задачу (6.8) — (6.11). Если решение этой задачи, то решение задачи получается с помощью квадратуры

Заметим, что обычные теоремы существования применимы к дифференциальному уравнению (6.8), если только Тем не менее, решения уравнения

«определяемые» начальными условиями

будут рассматриваться (по крайней мере, для малых даже при Понимать это следует в том смысле, что есть решение уравнения (5.1), удовлетворяющее условиям и определяется из (6.7). В критическом случае (т. е. из (5.1) вытекает, что откуда при малых так что при малых при малых

Доказательство теоремы (7.1) будет разбито на несколько этапов.

Доказательство, (а) Решение задачи (7.4), (7.5) при удовлетворяет условию при до тех пор, пока

В самом деле, если найдется точка где при а Но это невозможно, поскольку, в силу

Пусть Тогда найдется такая постоянная что если то решение задачи (7.4), (7.5) существует на -интервале на и если

Выберем настолько большим, что при число

Тогда из соображений выпуклости утверждение относительно справедливо, если только при убывании и от а мы не встретим первую точку в которой раньше, чем обратится в нуль. Покажем, что такая точка не может существовать, если а значит, и а достаточно велики. Если существует, то при Поэтому

так что

Из (7.4) и того, что вытекает соотношение так что и

Из двух последних формул следует, что

Число в правой части отрицательно, если (а потому и а достаточно велико. Это противоречие доказывает утверждение

Пусть решение уравнения (7.4), такое, что при больших и выполнены неравенства Тогда при и

Для доказательства этого утверждения предпочтительнее использовать вместо (7.4) уравнение (5.1). Дифференцируя это уравнение, получим

По предположению, при больших В тех точках, где мы имеем Поэтому имеет не более одного нуля, так что при больших (поскольку, если то и производная и не ограничена).

Предположим, если это возможно, что Тогда, в силу при больших с некоторой постоянной с.

Рис. 3.

Отсюда и потому при Это противоречие доказывает (с).

(d) Пусть два решения уравнения (7.4), такие, что либо

см. рис. 3 и 4. Пусть — функция, обратная к при

Рис. 4.

Тогда, до тех пор пока решения таковы, что

В частности, кривые на -плотности не пересекаются при до тех пор, пока

Для каждого вектор является решением системы (6.13), (6.14). Поскольку правая часть этих уравнений возрастает с ростом соответственно, утверждения (7.9), (7.10) вытекают из предложения (а) и из результатов упр. если в (7.8). В случае доказательство получается из соображений непрерывности (причем сначала мы показываем, что вместо (7.10) справедливо утверждение о том, что функция не убывает).

(e) Пусть решения уравнения (7.4), удовлетворяющие (7.7) и условию Тогда существует такое положительное что если

то кривые не могут пересечься при до тех пор, пока см. рис. 4.

Пусть решение уравнения (7.4), для которого Пусть функция является обратной к Тогда на некотором -отрезке в частности, при Из соображений непрерывности, если достаточно мало в (7.11), при Утверждение вытекает из если заменить на соответственно.

(f) Предположим, что уравнение (7.4) имеет решение, удовлетворяющее (6.9) — (6.11). Тогда существует такое число что решение уравнения (7.4), определяемое условиями (7.5), удовлетворяет (6.9) — (6.11) тогда и только тогда, когда

Покажем вначале, что если достаточно велико, то решение задачи (7.4), (7.5) не удовлетворяет условиям (6.9) — (6.11). Рассмотрим полуинтервал и предположим, что на нем Тогда из (7.4) видно, что

Разделив на и проинтегрировав по получим, что Интегрируя последнее неравенство по отрезку мы приходим к противоречию, поскольку при если

По предположению, существует такое 7 0, что решение задачи (7.4), (7.5) удовлетворяет (6.11). Пусть где верхняя грань берется по всем таким Из (d) следует, что решения задачи (7.4), (7.5) при удовлетворяют (6.11), а при не удовлетворяют (6.11). В случае когда доказательство вытекает при из сделанных нами предположений, а при из соображений непрерывности.

(g) Существуют такие, что решение уравнения (7.4), определяемое условиями

существует при и

Рассмотрим уравнение Риккати, в которое переходит уравнение (7.4) после подстановки

Это уравнение имеет вид

Рассмотрим дифференциальное уравнение Вебера

Если обозначить через логарифмическую производную от нетривиального решения

то уравнению (7.16) соответствует уравнение Риккати вида

В силу результата упр. X. 17.6(a), уравнение (7.16) имеет решение такое, что и при и Пусть при больших настолько велико, что

Определим числа так, чтобы

и пусть решение задачи (7.4) и (7.12). Тогда

в частности, Покажем, что

для всех таких для которых существует. На всяком отрезке агде мы получаем после интегрирования, что поскольку и

выполнено (7.21). В этом случае при так как

В силу (7.21) неравенство справедливо и при Предположим, что существует первое значение где нарушается неравенство (7.22); тогда Но в силу (7.18) и последнего неравенства в (7.19)

Это противоречие показывает, что при и справедливы неравенства (7.22) и .

(h) Существует такое число что если а то уравнение (7.4) имеет решение, удовлетворяющее условиям

Пусть где числа определены в а число введено в Рассмотрим решение уравнения (7.4), определяемое условиями

Тогда в силу решение может пересекаться с решением определяемым условиями (7.12). Поскольку возрастает в тех точках, где в силу утверждения отсюда следует, что решение существует при и при

Используя можно определить решение на отрезке так, чтобы при При заданном существует единственное -значение такое, что Положим так что в силу (а) или (b) в зависимости от того, будет ли или

Как и выше, из (d) получаем, что существует решение уравнения (7.4), удовлетворяющее условиям где а причем при В силу (с) утверждение (h) доказано.

(i) Существует такое число что решения уравнения (7.4), определяемое условиями удовлетворяют условиям (6.9) — (6.11), если но если уравнение (7.4) не имеет решения, удовлетворяющего условиям (6.9) — (6.11).

Пусть Покажем вначале, что если решение задачи (7.4) и (7.5), где то принимает значение 1 в некоторой точке полуинтервала и В силу результата, полученного в достаточно рассмотреть случай

Предположим, если это возможно, что при а Тогда функция такова, что

Пусть как и в (7.14), так что выполнено уравнение (7.15).

Заметим, что при так что в силу (7.15), В тех точках, где и имеем При этом где — решение уравнения [поскольку уравнение Риккати соответствует уравнению см. § XI.2(xiv)]. Поэтому

если до/до Ясно, что предположение является излишним, так как на этом множестве -значений. Поскольку функция не интегрируема на полуинтервале отсюда следует, что при для некоторого Это противоречие доказывает справедливость нашего утверждения.

Если число обладает тем свойством, что решение уравнения (7.4), удовлетворяющее условиям принимает значение 1 для некоторого то в силу (d) то же верно и для всех Пусть Тогда так как где определено в

Если то решения уравнения (7.4), для которых удовлетворяют условиям (6.9) — (6.11). По непрерывности, то же верно и при Как видно из если то задача (7.4), (7.5) не имеет решения, удовлетворяющего условиям (6.9) — (6.11).

(j) Число определенное в равно где нижняя грань берется по всем числам удовлетворяющим условию из

В самом деле, неравенство очевидно, поскольку как показано при доказательстве утверждения Но если то удовлетворяет условиям так что из неравенства следует, что поэтому

Доказательство теоремы 7.1. Из определения постоянной ясно, что уравнение (7.4) имеет решение, удовлетворяющее условиям (6.9) — (6.11) тогда и только тогда, когда В силу утверждения для можно указать такое число что решения задачи (7.4), (7.5)

удовлетворяют условиям (6.9) — (6.11) тогда и только тогда, когда

Очевидно, что в силу функция является возрастающей. В частности, при [поскольку

Покажем теперь, что Для этого предположим противное, т. е. что Рассмотрим решения уравнения (7.4), определяемые условиями соответственно. Пусть функции являются обратными к

Тогда при Пусть решение уравнения (7.4), для которого функция является обратной к Фиксируем Тогда, по непрерывности, при малых В силу функция определена при больших Следовательно, эта функция удовлетворяет условиям (6.9) — (6.11). Так как мы приходим к противоречию. Этим доказано, что

Это рассуждение позволяет теперь доказать, что при Рассматривая решения уравнения (7.4), удовлетворяющие (7.5) и условиям а также используя непрерывность, можно показать, что решение уравнения (7.4), определенное условиями удовлетворяет условиям (6.9) — (6.11). Поэтому Этим доказана непрерывность функции при Если положить то теорема 7.1 будет доказана, поскольку