§ 13. Приложения к дифференциальным уравнениям

Формально сопряженными к (0.1), (0.2) являются системы

где комплексно сопряженная и транспонированная к матрица; см. § IV.7. Пусть — оператор, порожденный системой (0.1), а Т - взятый со знаком минус оператор, порожденный системой (13.1) [т. е. Тогда и ассоциированные операторы в смысле § 10. Соответствующая формула Грина имеет вид

Ее легко проверить дифференцированием по При этом Ясно, что условия выполнены, а из теоремы 12.2 вытекает

Теорема 13.1. Пусть матрица, элементами которой являются локально интегрируемые при функции. Предположим, что пара является допустимой для системы (0.1). Тогда пара допустима для системы (13.1).

Этот факт позволяет применять к системе (13.1) теоремы из §6. Чтобы рассмотреть системы, сопряженные к (0.3) и (0.4), предположим, что это интеграл (т. е. функция, имеющая абсолютно непрерывные производные до порядка). Формально сопряженными к (0.3), (0.4) являются системы

где

звездочка означает переход к комплексно сопряженной и транспонированной матрице, а индексы в скобках означают дифференцирование; см. § IV.8 (viii). Для положим

где единичный оператор. Это билинейная форма от у, у. Легко проверить следующую формулу Грина:

если решения систем (0.3), (13.4) соответственно.

Меняя в (13.7) порядок суммирования, получаем

Поэтому, если — произвольный вектор, система из уравнений

может быть решена последовательно для поскольку При отсюда можно получить аналог условия из § 12.

Пусть операторы, которые сопоставляются системе (13.4) точно так же, как операторы сопоставлялись системе (0.3) в § 7. Аналог неравенства (0.5) показывает, что для выполняется условие если [т. е. аналогично из леммы 7.2 следует, что при том же условии на справедливо Из теоремы 11.3 вытекает

Теорема 13.2. Пусть некоторый k-й интеграл, и существует такая функция функции (13.7) выполнено неравенство (10.4). Предположим, что дара допустима для системы (0.3). Тогда индуцирует индивидуальную частичную дихотомию для и если решение системы (13.5) не является -решением этой системы, то при о. кроме того, выполнено условие (11.9), то индуцирует индивидуальную частичную дихотомию для

Из теоремы 12.2 сразу же вытекает

Теорема 13.3. Пусть некоторый интеграл и пара допустима для системы (0.3). Тогда пара допустима для системы (13.4).

Таким образом, при некоторых условиях на коэффициенты системы (13.4) применимы теоремы из § 7. Применяя теорему 12.3, можно получить индивидуальную дихотомию для без условий типа (7.14), но с условием на

Теорема 13.4. Пусть выполнены предположения теоремы при и существует такая функция что для функции (13.7) выполнено условие (10.4). Тогда индуцирует индивидуальную частичную дихотомию для и если решение системы (0.4) не является -решением этой системы, то при Если, кроме того, выполнено условие (12.6), то индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихотомию для

Из (13.7) видно, что функцией, удовлетворяющей (10.4), является

с некоторой постоянной зависящей только от Таким образом, если

то при Следовательно, из (13.10) и из условия вытекает, чтои выполняются условия второго утверждения теоремы 13.4.

Заметим, что если и (13.10) справедливо с то Но в этом случае при и теорема 13.4 следует из теорем, доказанных в § 7. (Это утверждение относительно вытекает из того факта, что если абсолютно непрерывна при то

Упражнение 13.1. Если функция абсолютно непрерывна, то формально сопряженными к вещественным уравнениям (7.24), (7.25) являются уравнения

Соответствующая формула Грина имеет вид

где

В обозначениях упр. 7.1 пусть это линейное множестьо функций

где и решение уравнения (13.12). Пусть «начальным значением» для служит вектор Пусть вещественная абсолютно непрерывная функция и так что

а для некоторой постоянной С

Предположим, наконец, что пара допустима для (7.24). (а) Тогда при достаточно малых пространство индуцирует полную дихотомию для Если, кроме того, или или при равномерно для больших то индуцирует экспоненциальную дихотомию Для для достаточно малых

Упражнение 13.2. Пусть вещественная абсолютно непрерывная функция на У, а функция такова, что существуют постоянные удовлетворяющие (7.27) и (13.16). Предположим, что пара допустима для (7.24). (а Тогда при малых пространсто индуцирует индивидуальную частич дихотомию для и если и В — решение системы (13.12), то при индуцирует индивидуальную частичную дихотомию для и если решение системы (7.25), то при если выполняется условие (11.9), то индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихотомию если выполнено условие (6.3), то индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихотомию для