§ 4. Основные неравенства

Обозначим через норму матрицы определяемую соотношением

Введенная норма матрицы зависит от выбора нормы вектора у. Если норма выбрана как евклидова или как то для решений системы (1.2) можно указать следующую оценку.

Лемма 4.1. Пусть решение системы (1.2), и пусть Тогда

Доказательство. Непосредственно из (1.2) следует, что имеет место неравенство являющееся аналогом неравенства (III.4.6). Поэтому, если является (единственным)

решением уравнения

удовлетворяющим условию и т. е. если

то из следствия III.4.3 и следующего за ним замечания вытекает, что для Это дает нам требуемое неравенство (4.2), но пока для Аналогично, если является решением уравнения

удовлетворяющим условию т. е. если

то для Поменяв в полученном неравенстве на и обратно, мы получим для требуемое неравенство (4.2).

Следствие 4.1. Пусть последовательность непрерывных -матриц, последовательность непрерывных векторов, таких,

Пусть является решением задачи Коши

где Тогда равномерно на

Доказательство. Ясно, что нормы равномерно ограничены на Поэтому по лемме 4.1 нормы также равномерно ограничены; скажем, Правые части дифференциальных уравнений (4.4 при стремятся равномерно к Для и А теперь остается только применить теорему 1.2.4.

Обозначим через А матрицу, комплексно сопряженную и транспонированную по отношению к матрице и пусть — эрмитова часть матрицы А. Обозначим через

скалярное произведение пары векторов что для векторов с комплекснозначными компонентами произведение комплексно сопряжено с В частности,

Пусть, наконец, обозначают наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы т. е. наименьший и наибольший корень многочлена относительно (Из того, что эрмитова, следует, что ее собственные значения вещественны.) Если норма является евклидовой, то определяются следующим образом:

или

где обозначает вещественную часть комплексного числа а.

Если дифференцируемые вектор-функции, то в частности, Отсюда вытекает следующая

Лемма 4.2. Обозначим через евклидову норму вектора у, через соответственно наименьшее и наибольшее собственные значения эрмитовой части матрицы и пусть решение системы (1.2). Тогда

(где означает левую или правую производную функции Следовательно, для

Доказательство. Неравенства (4.8) следуют непосредственно из (1.2) и определения (4.7). Действительно, если то а если получаем, что где или Из непрерывности матрицы вытекает непрерывность функций так что (4.9) и (4.10) получаются из соотношения (4.8), <если применить к нему теорему III.4.1 и использовать следующее за ней замечание 1.

Пусть некоторая функция, определенная для Число называется показателем (Ляпунова) функции если для любого существуют положительные постоянные и такие, что при всех больших

и для некоторых произвольно больших

Если для больших то определения (4.11) и (4.12) числа эквивалентны следующему:

Если непрерывна для то в силу лемм 4.1 и 4.2 для того, чтобы каждое решение однородной системы (1.2) обладало некоторым показателем достаточно, чтобы функция

была ограничена, причем в этом случае

Более общим достаточным условием является ограниченность сверху функций

при