§ 6. Система (1.1)

Теоремы из § 3 дают необходимые и достаточные условия существования локальных решений задачи Коши (1.1) — (1.2).

Теорема 6.1. Пусть непрерывная -матрица на открытом множестве Необходимое и достаточное условие для того, чтобы задача (1.1) — (1.2) имела единственное решение класса определенное для близких к при любом состоит в следующем: форма (1.5) должна быть в точке вполне интегрируемой, т. е. для каждой точки существует матрица определенная так же, как в теореме 3.1. В этом случае, если произведение двух евклидовых шаров содержится в для всех евклидовых единичных -мерных векторов -мерных векторов и точек то решение существует в шаре

Как было отмечено в § 1, при равенства (1.4) является необходимым и достаточным условием существования локальных решений задачи Коши (1.1) — (1.2) при произвольном

Особо важным случаем уравнения (1.1) является случай, когда матрица линейна по у. Пусть суть непрерывные -матрицы, определенные в открытом

-множестве D, и пусть

так что задача Коши (1.1)-(1.2) принимает следующий вид:

Следствие 6.1. Пусть где суть непрерывные -матрицы в открытом -множестве Тогда для существования решения задачи (6.2) при всех произвольно) необходимо и достаточно, чтобы для имели место равенства

для каждого прямоугольника с границей на -мерных координатных плоскостях . В этом случае решение задачи (6.2) единственно и принадлежит классу по всем своим аргументам. Если матрицы принадлежат классу то условия (6.3) эквивалентны следующим:

Это следствие вытекает из теоремы 6.1 и следующих упражнений.

Упражнение Пусть принадлежат классу Покажите, что условия (6.4) являются для условиями интегрируемости, если определяется формулой (6.1). (b) Пусть непрерывны. Покажите, что форма где определяется с помощью (6.1), имеет непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую условиям интегрируемости в том и только в том случае, когда выполнены условия (6.3) из следствия 6.1.

Упражнение 6.2 (продолжение). Покажите, что если матрица определенная в (6.1), непрерывна, то существует непрерывная невырожденная матрица такая, что форма имеет непрерывную внешнюю производную, удовлетворяющую (3.1) в том и только в том случае, когда это имеет место для

Доказательство теоремы 6.1 вместе с обычной теоремой монодромии будет использовано в линейном случае, когда определяется формулой (6.1), для доказательства существования решений «в целом».

Следствие 6.2. Пусть непрерывна для и всех у, где открытая односвязная область. Предположим, что достаточные условия теоремы 6.1 локальной разрешимости задачи Коши (1.1) — (1.2) выполнены. Пусть для каждого компактного подмножества существует постоянная такая, что для и всех у. Тогда решение задачи (1.1) — (1.2) существует для всех

Далее будет ясно, что с учетом теоремы III.5.1 условие можно усилить.

Доказательство теоремы 6.1. Необходимость. Пусть задача Коши (1.1) — (1.2) имеет единственное решение класса определенное для близких к Матрица Якоби совпадает в точке с единичной, и потому вблизи она является невырожденной. Считая фиксированным, положим Функция вблизи точки принадлежит классу кроме того, она удовлетворяет (1.7), (1.8) и преобразует форму (4.1) в (4.2), так как при фиксированном функция является решением уравнения (1.1), т. е. уравнения (1.10). Значит, «необходимость» в теореме 6.1 следует из «необходимости» в теореме 3.1.

Единственность. Пусть является решением задачи Коши (1.1) — (1.2), существующим, скажем, в евклидовом шаре Рассмотрим для фиксированного (евклидова) единичного -мерного вектора значения функции для Согласно (1.1) — (1.2) имеем

Если матрица достаточно гладкая (например, удовлетворяет условию Липшица по то задача Коши (6.5) имеет единственное решение, которое необходимо совпадает с для То же самое можно утверждать и при наших условиях, а именно при условии, что непрерывны, и форма (1.5) имеет непрерывную внешнюю производную. Действительно, тогда формы

при фиксированных имеют непрерывные внешние производные. (Это сразу следует из определения внешней производной; см. § V.5.) Поэтому для доказательства единственности остается применить теорему V.6.1.

Существование. По теореме 3.1 существует функция класса удовлетворяющая (1.7), (1.8) и преобразующая (1.5) в (1.9). При функция является решением задачи (1.1) — (1.2), т. е. существует Остается проверить, что принадлежит классу по всем своим аргументам. В силу условия (1.8), функция (1.6) имеет вблизи точки обратную функцию класса Но функция при фиксированном при фиксированном является решением уравнения (1.1), равным при Другими словами, имеет место равенство которое показыв что принадлежит

Область существования. Легко проверить, что из условий, наложенных на в последней части теоремы 6.1, следует, что решение задачи (6.5) существует при где для всех единичных векторов Действительно, если есть правая или левая производная, то из (6.5) и условий, наложенных на вытекает, что см. доказательство леммы III.4.2. Из существования и единственности решений задачи Коши (1.1) — (1.2) при всех следует, что совпадает с функцией от и что есть решение задачи (1.1) — (1.2). Теорема 6.1 доказана.

Упражнение 6.3. Предположим, что принадлежит классу и что имеет место (1.4). Используя (6.5), докажите существование решения задачи Коши (1.1) — (1.2).

Упражнение 6.4. Предположим, что принадлежит классу и что имеет место (1.4). Пусть Докажите существование решения задачи Коши (1.1) — (1.2) следующим способом. Пусть есть -мерный вектор, представляющий столбец матрицы Определим как решение задачи Если уже определено, то пусть является решением задачи Покажите, что является искомым решением задачи

Доказательство следствия 6.2. Из теоремы III.5.1 и условий следствия 6.2 ясно, что при фиксированном решение уравнения (6.5) существует на любом -интервале содержащем точку и таком, что все точки Согласно доказательству единственности решений задачи Коши (1.1) — (1.2), решения уравнения (1.1), определенные в -шарах с центрами в где совпадают в любой общей области

их определения. Следовательно, решение можно определить на открытом подмножестве из содержащем отрезок

Эти рассуждения показывают, что то же самое верно, если отрезок заменен любой ломаной которая начинается в и не имеет самопересечений. Если рассмотреть две такие ломаные которые начинаются в и заканчиваются в то два решения , определенные в окрестностях будут совпадать при Действительно, если ломаные достаточно близки друг к другу, то это ясно. А в общем случае это следует из односвязности области Значит, решение может быть определено (как однозначная функция от во всей области что и требовалось доказать.