§ 11. Индивидуальные дихотомии

Докажем одну теорему, связанную со следующим понятием: множество вещественных функций называется малым на если каждая функция мала на в том смысле, что

Теорема 11.1. Пусть выполнены условия [или и пусть — функция из определенная в (10.4). Предположим также, что или В, или малы на Тогда индуцирует индивидуальную частичную дихотомию для

Из доказательства будет видно, что постоянные в формуле (1.7) из условия (а) индивидуальной частичной дихотомии могут быть выбраны независимо от

Предположение о «малости на сделанное в теореме, будет использоваться только при выводе условия (а) индивидуальной частичной дихотомии, относящегося к функциям для которых Это предположение в теореме 11.3 будет отброшено, но при этом постоянная в условии (а) уже будет зависеть от у, а кроме того, придется наложить дополнительное условие из § 8.

Если принять во внимание теорему 12.3, то можно утверждать, что главная ценность теорем этого параграфа состоит в том, что в них не делается предположений типа Насколько это важно, видно из того, что условие (7.14) в теореме 7.1 введено только для того, чтобы оператор удовлетворял условию

Доказательство теоремы 11.1.

Условие (а). Из условия вытекает, что при

Условие малости или или на будет использоваться следующим образом: если три функции надлежат [например, см. (9.1)] и хотя бы одна из них мала на то

Чтобы убедиться в этом, заметим, что если интегрируемая на отрезке функция, то мера множества -значений, для

которых меньше чем 1/3. Если это замечание применить к то мы получим, что для всякого существует общее -значение , для которого

Поскольку интеграл справа ограничен при и по крайней мере одна из этих функций стремится к нулю пои некоторой последовательности при Поэтому справедливо равенство (11.2).

Пусть Пусть произвольный элемент из с компактным носителем на По лемме 3.2 уравнение имеет PD-решение удовлетворяющее (3.5), так что Из условий видно, что Поскольку из формулы Грина следует, что

где и Интеграл в левой части не зависит от и больших [поскольку при большое]. Поэтому из (10.4) и (11.2) имеем при

Из доказательства равенства (11.2) видно, что при подходящем выборе

Первый множитель справа не превосходит в силу (11.1), второй не превышает в силу (1.5) и потому не превышает

в силу Так как правую часть в (11.4) можно заменить на где постоянная и некоторая точка из отрезка

Поскольку произвольный элемент из с компактным носителем на из леммы 9.2 следует, что

а в силу

Условие (а) частичной дихотомии для может быть теперь получено с помощью рассуждения, основанного на условии и аналогичного тому, которое было использовано доказательстве теоремы 5.1.

Условие] Пусть Пусть — произвольный элемент из с носителем на и решение уравнения оно существует в силу леммы 3.2. Тогда из неравенства формулы Грина и (10.4) имеем

Используя (3.5) и рассуждая так же, как при доказательстве неравенства (11.5), получаем, что

где та же постоянная, что и в (11.5).

Поскольку , из квазиполноты пространства В (лемма 9.1) вытекает, что при Поэтому существует такое число зависящее от решения что II при В силу (11.7)

Используя получим, что

Доказательство завершается так же, как и доказательство теоремы 5.1.

Теорема 11.2. Пусть выполнены условия теоремы 6.1. Предположим дополнительно, что

Тогда индуцирует индивидуальную экспоненциальную дихотомию для где постоянные не зависят от в условии (а).

Упражнение 11.1. Докажите эту теорему. Используя следующую лемму, можно избавиться от условия «малости на если предположить, что выполнено условие из § 8. В этой лемме применяются те же обозначения, что и в

условии если и где обращаются в нуль при больших то соответствующие решения, существование которых гарантируется условием

Лемма 11.1. Пусть выполнены условия Пусть некоторое РВ-решение уравнения Тогда существуют постоянные зависящие от такие, что для всякой функции уравнение имеет удовлетворяющее (3.5), и т. е. если одномерное многообразие в У, натянутое на вектор то есть PD-многообразие для уравнения

Доказательство. Можно предположить, что существует PD-решение уравнения для которого В противном случае лемма 11.1 следует из леммы 3.2. Пусть решение уравнения существующее по лемме 3.2, и пусть

Тогда является PD-решением уравнения удовлетворяющим условию По формуле Грина

если Поскольку при больших из условия следует, что при больших так при больших Но последнее выражение не зависит от (так как следовательно, Поэтому из (11.11) видно, что

Следовательно, в силу (11.10)

Выражение в правой части не превосходит в силу (10.4) и леммы 3.2. Поэтому из (11.10) получаем, что

Из условия в лемме 3.2 следует, что Поэтому справедливо неравенство, аналогичное но с заменой

на , а на Неравенство, аналогичное (3.52), может быть получено из леммы 8.1.

Теорема 11.3. Заключения теорем 11.1 и 11.2 остаются справедливыми, если заменить условие шалости или или на условием

Упражнение 11.2. Докажите эту теорему. В силу замечания, сделанного после теоремы 11.1, достаточно рассмотреть только условие (а). Доказательство условия (а) в этом случае аналогично (но несколько проще) доказательству соответствующего условия в теоремах 11.1 и 11.2. Вместо решения уравнения существование которого утверждается в лемме 3.2, используется решение, существующее в силу леммы 11.1