§ 12. Переменная матрица G

Рассмотрим связное открытое множество в пространстве переменных у. Предположим, что есть (вещественная) положительно определенная матрица, непрерывная на Матрице можно сопоставить элемент длины дуги в римановой метрике

где Это означает, что если кривая класса в то ее риманова длина относительно (12.1) определяется интегралом

Легко видеть, что эта величина не зависит от выбора параметра класса вдоль С.

Можно также ввести на новую метрику положив

где нижняя грань берется по всем кривым из класса соединяющим точки и Функция удовлетворяет обычным условиям, налагаемым на метрику: если и неравенству треугольника:

Замечание. Поскольку матрица непрерывна и положительно определена, то для всякого компактного подмножества множества найдутся такие положительные постоянные что с В самом деле, если С — кривая класса и то где риманова длина, евклидова длина отрезка кривой С. В частности, если произвольная точка из то существует такое что если то при определении в (12.3) достаточно рассматривать кривые С, лежащие в шаре Поэтому, если произвольная точка в то найдется такое малое число и такая пара положительных постоянных зависящих от что если (или если при

Элемент длины дуги в римановой метрике называется полным на множестве точек у, если из сходимости интеграла (12.2) на полуоткрытом отрезке кривой класса в определенной

в полуоткрытом интервале вытекает, что существует при и т. е. элемент полный, если полуоткрытые отрезки кривых С конечной длины (12.2) имеют концевую точку в

Это понятие полноты эквивалентно обычному понятию полноты метрического пространства с метрикой (12.3). Но этот факт используется только в § 13. В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

Лемма 12.1. Пусть совпадает со всем у-пространством или с его частью лежащей вне шара. Пусть есть положительно определенная матрица, принадлежащая классу на Элемент в (12.1) является полным на тогда и только тогда, когда каждый неограниченный отрезок кривой из класса имеет бесконечную риманову длину

Упражнение 12.1. (а) Докажите лемму 12.1. (b) Если в условиях леммы 12.1 положить где функция класса то для полноты элемента на достаточно, чтобы или чтобы или, более общо, чтобы

Пусть и решение системы уравнений

на некотором -интервале. Пусть решение уравнений в вариациях для (12.7) вдоль (12.3), т. е. решение линейной системы

где матрица Якоби Пусть и

Как легко видеть, производная этой функции по равна

где матрица порядка с элементами

В частности, если

поскольку вектор является решением системы (12.7).

Матрица В рассматривалась ранее в ( и в лемме в аналогичной ситуации, когда читателей, знакомых: с римановой геометрией, отметим, что если рассматривать как контравариантное векторное поле, как компоненты его ковариантной производной и определить как то матрица будет кососимметрической. Поэтому равенство (12.9) сохраняется и после замены В на

Заметим, что если постоянная матрица, то

Теорема 12.1. Пусть на открытом связном множестве содержащем точку Пусть матрица положительно определена при каждом у и таковаг что элемент в (12.1) является полным на Пусть функция является невозрастающей при и

Наконец, пусть [см. (12.3)] и

Тогда (i) каждое решение системы начинающееся при существует при существует предел при который является стационарной точкой, если то функция

убывает при и стремится к при множество стационарных точек [т. е. нулей ] связно; поэтому если стационарные точки функции изолированы (например, если при то имеет единственную стационарную точку и решение асимптотически устойчиво в целом.

При доказательстве будут получены априорные оценки решения Если

функция, обратная к то, как легко видеть,

Отсюда следует, что

а поскольку

то

Если равенство (12.12) не имеет места, но начальное значение некоторого решения таково, что имеет смысл определение постоянной с в (12.16), то для этого решения утверждения остаются в силе.

Упражнение 12.2. Используя пример системы из двух уравнений, где совпадает со всем пространством переменных у, докажите, что в нельзя отбросить дополнительное предположение, касающееся изолированных точек.

Доказательство, Пусть решение уравнения начинающееся при Тогда риманова длина дуги кривой на отрезке равна интегралу от где функция определена в (12.14). Положим и

В силу неравенства треугольника (12.4) и определения (12.3) очевидно, что

Поскольку решение системы его производная удовлетворяет системе уравнений в вариациях (12.7). Поэтому справедливы соотношения (12.8), (12.9) и в силу Следовательно,

Из (12.19) следует, что Поскольку функция не возрастает, из неравенства следует, что

Интегрируя по отрезку получаем следующее соотношение:

Так как это неравенство можно переписать, согласно (12.5), в виде

Неравенства означают, что

Следовательно, условие (12.16) выполняется на любом отрезке на котором определено решение

Из монотонности функции и неравенства (12.20) вытекает, что так что неравенства (12.17) выполнены на всяком отрезке на котором существует решение Следовательно.

и если правый максимальный интервал существования то последний интеграл сходится при Но этот интеграл равен римановой длине дуги так что из полноты вытекает, что существует при причем предел принадлежит Но тогда по лемме Этим доказано утверждение (i) и существование Тот факт, что при вытекает из поскольку интеграл в (12.21) сходится при

Пусть множество нулей функции Чтобы доказать связность множества определим отображение : множества на следующим образом: если произвольное решение системы при положим Ясно, что множество значений оператора совпадает с Поскольку непрерывные отображения переводят связные множества в связные, то отсюда следует, что связное множество, если непрерывное отображение.

Пусть -произвольная точка. Нужно показать, что непрерывно в точке Если мала, то существуют постоянные такие, что см. замечание, следующее за (12.4). Таким образом, для непрерывности в точке можно предполагать, что переводит метрику, определяемую с помощью в (12.3).

Пусть решение, удовлетворяющее условию риманов шар Так как постоянная с в (12.16) зависит только от начальной точки решения отсюда следует, что неравенства (12.17) — (12.18) имеют место с постоянной которую можно выбрать независимо от Поэтому, если фиксировано, то существует число не зависящее от такое, что при Пусть настолько мало, что при если Тогда еслщ Этим доказана непрерывность отображения при и завершено доказательство утверждения

Основная часть утверждения вытекает из Что касается утверждения в скобках в заметим, что если то в силу (12.10), где Этим завершается доказательство теоремы 12.1.

Следствие 12.1. Рассмотрим отображение пространства переменных у в себя, имеющее вид где для всех у. Пусть матрица Якоби такова, что для всех где невозрастающая при функция, удовлетворяющая (12.12). Тогда отображение взаимно однозначно и является отображением на [т. е. существует единственное обратное отображение определенное для всех В частности, найдется единственная точка где кроме того, решение системы асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Применим теорему 12.1 в случае, когда совпадает со всем -пространством и Заменим функцию на при фиксированном

Если фиксировано и условие на ослаблено до условия из теоремы (12.1) вытекает, что уравнение имеет хотя бы одно решение у.

Упражнение 12.3. Покажите, что в предположениях следствия 12.1 отображение взаимно однозначно и является отображением на, если предположение о принадлежности классу и условие на заменены таким более слабым условием: «вектор-функция непрерывна и удовлетворяет неравенству

для всех из шара (Это обобщает первую часть следствия 12.1; см. доказательство следствия 11.2.)

Упражнение Пусть для всех у, функция удовлетворяет условиям теоремы принадлежит классу и удовлетворяет (12.5). Если и предположим, что

Покажите, что утверждения теоремы 12.1 остаются справедливыми при Проверьте, что если при удовлетворяет всем условиям из но только функция просто непрерывна при и неравенство (12.22) справедливо только при

то заключения остаются в силе, (с) Какие условия следует наложить на для того, чтобы утверждение (b) осталось справедливым при