§ 4. Теорема Кнезера

В этом параграфе будет доказана теорема, относящаяся к случаю неединственности решения задачи Коши.

Теорема 4.1. Пусть непрерывна в области Пусть Обозначим через множество тех точек для которых на отрезке существует решение задачи Коши

такое, что т. е. включение означает, является точкой, достигаемой при некоторым решением, задачи Коши (4.1). Тогда множество является континуумом, замкнутым связным множеством.

Упражнение 4.1. Если у является скаляром, то теорема 4.1 имеет очень простое доказательство даже без предположения с Утверждение теоремы тогда состоит в том, что является или пустым множеством, или одной точкой, или замкнутым у-интервалом. Докажите теорему 4.1 в этом случае, показав сначала, что если (так что задача Коши (4.1) имеет решения на и для и если

Доказательство. Обозначим через множество решений задачи Коши (4.1). Отрезок принадлежит области существования каждого из них и : Покажем, что замкнуто. Пусть Тогда

для некоторого По теореме 1.2.4 последовательность обладает некоторой подпоследовательностью, которая равномерно сходится на к некоторому Ясно, что

Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда является несвязным множеством и потому состоит из двух непустых замкнутых множеств не имеющих общих точек. Так как ограничено, то расстояние где для Для любого у положим так что если если Функция непрерывна и для

Пусть Тогда существует непрерывная функция зависящая от и (фиксированного) определенная для всех и обладающая следующими свойствами:

3) удовлетворяет условию Липшица по

4) является решением задачи Коши

Убедимся, что такая функция существует. Обозначим через функцию, обладающую свойствами 1) — 3), заменив на на в (4.2); см. § 1.3. Пусть Тогда

так что свойства 1) и 2) для выполнены. Свойство 3) очевидно, а 4) следует из того, что

Пусть Пусть для данного функции обладают свойствами 1) — 4), где соответственно. Рассмотрим однопараметрическое семейство задач Коши

где

Так как удовлетворяет условию Липшица по у, то (4.4) имеет единственное решение ; см. теорему 1.1. В силу теоремы 1.1 (в которой произвольно) это решение существует на отрезке поскольку ограничена, в полосе любое.

Заметим, что из неравенства следует, что для Согласно теореме равномерно по на отрезке

[10, с]. Поэтому, в частности, а значит, и является непрерывной функцией от Поскольку так что то существует значение такое, что

Если фиксированы, то выбор зависит только от так что Пусть и пусть Тогда соотношения (4.2) и (4.5) показывают, что

а в силу выбора задача Коши

имеет на (единственное) решение такое, что Последовательность обладает некоторой подпоследовательностью, равномерно сходящейся на скажем к Так как для при то из теоремы 1.2.4 следует, что является на отрезке решением задачи Коши (4.1). При этом Но тогда Мы получили противоречие. Теорема доказана.

Упражнение 4.2. Покажите на примерах, что множество не обязано быть выпуклым, если где размерность вектора например, если множество может быть границей круга.

Упражнение Пусть непрерывна для всех и пусть Предположим, что все решения задачи Коши (4.1) определены на отрезке Тогда является континуумом. (Ь) Покажите на примерах, что может быть несвязным, если и не все решения задачи Коши (4.1) существуют на отрезке

Упражнение 4.4. Пусть и с такие, как в теореме 4.1 или упр. и пусть для некоторого решения задачи Коши В частности, Пусть у — граничная точка множества Покажите, что задача Коши (4.1) имеет решение такое, что и точка находится на границе множества для Эта теорема принадлежит Фукухаре; см. Камке [2]. (Ь) Пусть некоторая точка границы множества где Покажите, что не всегда существует решение задачи Коши (4.1), такое, что принадлежит границе на любом отрезке Этот результат принадлежит Фукухаре и Нагумо; см. Дигель [1].