ЧАСТЬ I. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

§ 1. Линейные уравнения

В этом параграфе, если не оговорено противное, компоненты -мерных векторов считаются вещественными или комплексными. Пусть фиксировано. Рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений

и соответствующую однородную систему

где непрерывная -матрица, непрерывная на отрезке вектор-функция. Рассмотрим, кроме того, множество граничных условий

где суть постоянные -матрицы. Например, если и периодичны с периодом то решение системы (1.1) или (1.2), удовлетворяющее условию (1.3), является периодическим с периодом

Лемма 1.1. Пусть матрица непрерывна при постоянные -матрицы, а матрица является фундаментальной для системы (1.2). Система (1.2) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее условию (1.3), тогда и только тогда, когда матрица является вырожденной. Более того, число линейно независимых решений задачи (1.2), (1.3) равно числу линейно независимых векторов с, определяемых условием

т. е. равно рангу .

Это утверждение очевидно, так как общее решение системы (1.2) представляется в виде

Упражнение 1.1. Пусть матрица периодическая с периодом и

а — постоянная матрица; см. § IV.6 (теория Флоке). Система (1.2) имеет нетривиальное решение периода в том и только в том случае, когда является мультипликатором системы (1.2), т. е. когда матрица является вырожденной. Число линейно независимых решений периода равно числу линейно независимых решений с системы

В случае алгебраических систем неоднородная система имеет при любом решение у тогда и только тогда, когда однородная система имеет единственное решение Аналог этого утверждения имеет место и в нашем случае.

Теорема 1.1. Пусть матрица непрерывна на отрезке пусть постоянные -матрицы, такие, что -матрица имеет ранг Система (1.1) имеет

при любой заданной непрерывной функции решение удовлетворяющее (1.3), тогда и только тогда, когда задача (1.2), (1.3) не имеет нетривиального решения; в этом случае решение единственно и существует постоянная К, не зависящая от такая,

Доказательство. Общее решение системы (1.1) задается формулой

см. следствие IV.2.1. Это решение удовлетворяет условию (1.3) в том и только в том случае, когда

Допустим, что задача (1.2), (1.3) не имеет нетривиального решения. Тогда по лемме 1.1 матрица является невырожденной, так что система (1.9) имеет единственное решение с. Подставляя это значение с в (1.8), получаем единственное решение задачи (1.1), (1.3):

Ясно, что отсюда следует существование константы К, удовлетворяющей неравенству (1.7) для

Итак, первая половина теоремы 1.1 доказана (заметим, что в этой части условие, что ранг равен не использовалось). Обратное утверждение следует из теоремы 1.2.

Упражнение 1.2. Какой вид имеет функция Грина в последней части теоремы 1.1, т.е. какова функция такая, что

является единственным решением (1.10) задачи (1.1), Рассмотрим системы, сопряженные к (1.1), (1.2):

где матрица А комплексно сопряженная и транспонированная к ; см. § IV.7. Рассмотрим также множество граничных условий

где — постоянные -матрицы. Если является решением системы (1.1), а решение системы (1.11), то формула

Грина (IV. 7.3) имеет вид

В каком случае из граничных условий (1.3) и (1.13) следует, что

т. е. когда правая часть соотношения (1.14) равна нулю? Заметим, что если матрицы невырожденные, то это бывает в том и только в том случае, когда при этом из (1.3) и (1.13) следует (1.15) тогда и только тогда, когда

Лемма 1.2. Пусть постоянные -матрицы, такие, что ранг Тогда существуют -матрицы удовлетворяющие (1.16), имеющие ранг и обладающие тем свойством, что из соотношений (1.3), (1.13) следует (1.15). Пара векторов удовлетворяющих (1.13), зависит от выбора матриц

Доказательство. Так как ранг равен то существуют -матрицы такие, что

является невырожденной. Представим матрицу, обратную к в виде

так что справедливо (1.16) и ранг

Пусть суть -мерные векторы и соответствующие -мерные векторы. Тогда

так что

Выбирая видим, что из (1.3) и (1.13) следует (1.16). Тем самым доказательство существования закончено.

Представление импликации (1.3), (1.13) (1.16) в виде (1.19) позволяет дать простое доказательство последней части леммы. Сначала заметим, что если вектор удовлетворяет равенству то Действительно, так как ранг то множество векторов удовлетворяющих равенству совпадает с множеством векторов, удовлетворяющих соотношению для всех таких, что Значит, множество векторов определяется матрицами и тем самым лемма полностью доказана.

Граничные условия (1.13), удовлетворяющие условиям леммы 1.2, далее будут называться сопряженными граничными условиями по отношению к граничным условиям (1.3). Соответственно задачи (1.2), (1.3) и (1.12), (1.13) будут называться «сопряженными задачами». [Заметим, что условия, сопряженные по отношению к «граничным условиям периодичности» (т. е. ), эквивалентны «условиям периодичности» (т. е. )

Для сопряженных задач имеет место аналог алгебраического результата о том, что если С есть -матрица, то число линейно независимых решений системы совпадает с числом линейно независимых решений «сопряженной» системы

Лемма 1.3. Пусть матрица непрерывна на постоянные -матрицы, такие, что ранг а граничные условия (1.13) являются сопряженными по отношению к (1.3). Тогда задачи (1.2), (1.3) и (1.12), (1.13) имеют одинаковое число линейно независимых решений.

Доказательство. Так как связь между задачами (1.2), (1.3) и (1.12), (1.13) является симметричной, достаточно показать, что если задача (1.12), (1.13) имеет линейно независимых решений, где то число линейно независимых решений задачи (1.2), (1.3) будет не меньше

Пусть фундаментальная матрица системы (1.2); тогда будет, согласно лемме IV.7.1, фундаментальной матрицей системы (1.12). Определим, как и в (1.17), постоянную а -матрицу

так что матрица невырожденная и

Значит, если постоянный -мерный вектор, такой, что вектор является решением задачи (1.12), (1.13), то Здесь есть некоторый -мерный вектор, и если пробегает некоторое множество линейно независимых векторов, то вектор также пробегает множество линейно независимых векторов, поскольку матрица невырожденная. В силу (1.20) легко видеть, что уравнение дает

так что

Значит, матрица аннулирует линейно независимых векторов и потому то же самое справедливо и по отношению к матрице получаемой из нее транспонированием и заменой элементов на комплексно сопряженные. Для завершения доказательства остается применить лемму 1.1; тем самым лемма 1.3 доказана.

Замечание. Для целей следующего ниже доказательства заметим, что из только что доказанной леммы вытекает следующее: соотношение (1.22) имеет место в том и только в том случае, когда вектор в (1.21) обладает тем свойством, что решение системы (1.12) удовлетворяет условию (1.13).

Другой алгебраический результат состоит в том, что если матрица С невырожденная, то система имеет решение у в том и только в том случае, когда ортогональна (т. е. ко всем решениям однородной «сопряженной» системы Аналогичная ситуация имеет место в нашем случае.

Теорема 1.2. Пусть матрица непрерывна на постоянные -матрицы, такие, что ранг и пусть задачи (1.2), (1.3) и (1.12), (1.13) являются сопряженными. Предположим, что задача (1.2), (1.3) имеет ровно линейно независимых решений и пусть линейно независимые решения задачи (1.12), (1.13). Пусть непрерывна для Система (1.1) имеет решение удовлетворяющее условию (1.3), тогда и только тогда, когда

В этом случае решения задачи (1.1), (1.3) задаются виде где ось произвольные постоянные.

Доказательство. Заметим, что, согласно доказательству теоремы 1.1, задача (1.1), (1.3) имеет решение в том и только том случае,

когда система (1.9) имеет решение с. А это в свою очередь бывает тогда и только тогда, когда

для всех решений системы (1.22). В силу (1.21) это эквивалентно условию

для всех решений задачи (1.12), (1.13), т. е. условию (1.23). Теорема доказана.

Следующую теорему, скорее всего, следует рассматривать как частный результат для случая, когда и являются периодическими с периодом

Теорема 1.3. Пусть матрица непрерывна и имеет период Тогда для фиксированной непрерывной функции с периодом система (1.1) имеет решение с периодоль в том и только в том случае, когда (1.1) имеет по крайней мере одно ограниченное при решение.

Доказательство. Необходимость существования ограниченного решения очевидна. Для доказательства достаточности допустим, что (1.1) имеет некоторое решение ограниченное для всех Пусть фундаментальная матрица системы (1.2), удовлетворяющая условию Тогда система (1.1) имеет решение периода в том и только в том случае, когда уравнение где

имеет решение см. (1.9) из доказательства теоремы 1.1.

Если в то для данного решения системы (1.1) будет выполняться соотношение Так как также является решением, то или, более общо,

Предположим, что система не имеет решения. Тогда матрица вырожденная, и существует вектор такой, что Значит, для Умножая уравнение скалярно

на получаем

так как Поскольку а последовательность ограничена, мы приходим к противоречию. Теорема доказана.