§ 6. Теоремы единственности

Одно из основных применений теоремы 4.1 и ее следствий состоит в получении теорем единственности. Докажем сначала теорему, часто называемую общей теоремой единственности Камке.

Теорема 6.1. Пусть непрерывна в параллелепипеде Пусть непрерывная функция на обладающая следующими свойствами: 1) ; 2) единственным

решением дифференциального уравнения

удовлетворяющим на любом полуинтервале следующим условиям:

является функция Пусть для точек имеет место неравенство

Тогда задача Коши

на любом отрезке имеет не более одного решения.

В предположениях теоремы 6.1 единственность решения можно утверждать также для любой задачи Теорема 6.1 остается справедливой и в том случае, когда обозначает евклидову норму.

Упражнение 6.1. Покажите, что теорема 6.1 не верна, если условие (6.2) заменено условием при

Доказательство. Из того факта, что

следует, конечно, что функция является решением уравнения (6.1).

Предположим, что для некоторого задача Коши (6.4) имеет на Два различных решения: Положим Уменьшая, если это необходимо, можно считать, что Кроме того, Согласно (6.3), для Из следствия 4.3 (и замечания 1 к теореме 4.1) вытекает, что если минимальное решение задачи Коши где то

на любом интервале, лежащем в на котором существует см. рис. 1.

Из доказательства теоремы II.3.1 (о продолжении) и леммы 2.1 видно, что и о (0 можно продолжать как минимальное решение влево от до тех пор, пока при некоторых значениях точка не подойдет как угодно близко к какой-либо точке из В процессе этого продолжения неравенство (6.6) остается справедливым, так что при некоторых точка подходит как угодно близко к точке вида где Если то из

условия (6.5) видно, что можно продолжить на весь интервал считая для Таким образом, левый максимальный интервал существования есть Но из (6.5) и (6.6) следует, что при

Рис. 1.

В силу предположения теоремы относительно уравнения (6.1), Поскольку это противоречит начальному условию теорема 6.1 доказана.

Следствие 6.1 (критерий Нагумо). Если то функция удовлетворяет условиям теоремы 6.1 (т. е. утверждение теоремы 6.1 остается справедливым, если неравенство (6.3) заменено условием

Упражнение 6.2. Функция в следствии 6.1 не может быть заменена функцией ни при каком Покажите, что если то существует вещественная функция непрерывная в области удовлетворяющая при условию

и тем не менее такая, что задача Коши имеет более одного решения.

Следствие 6.2 (критерий Осгуда). Если то в качестве в теореме 6.1 можно взять функцию где и непрерывна на непрерывна для при

Заметим, что условие непрерывности в этом следствии может быть ослаблено. Можно непосредственно доказать, что соответствующая теорема единственности верна и в предположении интегрируемости для

Упражнение 6.3 (обобщение следствий 6.1 и 6.2). Пусть

Если функция непрерывна для то функция удовлетворяет предположениям теоремы 6.1 тогда и только тогда, когда при

Пусть функция непрерывна для непрерывна для для Покажите, что функция удовлетворяет условиям теоремы 6.1, если для каждого выполнено неравенство при где и является функцией, обратной к

Упражнение 6.4. Пусть непрерывна для Покажите, что задача Коши имеет единственное решение если не существует такого что или для интегрируема (по Лебегу) на или для — интегрируема (по Лебегу) на .

Упражнение 6.5. Пусть удовлетворяют предположениям теоремы 6.1. Покажите, что существует функция которая непрерывна в замыкании области не убывает относительно и (при фиксированном и обладает теми же свойствами, что и единственным решением задачи Коши и на любом отрезке является и

1). (Заметим, что, поскольку непрерывна в замыкании любое решение уравнения определенное в полуинтервале и удовлетворяющее условиям (6.2), непрерывно дифференцируемо и является решением в обычном смысле на отрезке

Упражнение Пусть некоторые неотрицательные постоянные, такие, что Пусть вещественная функция, непрерывная в области для и такая, что при

Покажите, что (скалярное) уравнение порядка имеет не более одного решения (на любом

отрезке удовлетворяющего начальным условиям и где заданные числа из области Покажите, что утверждение (а) остается верным, если постоянные заменены непрерывными неотрицательными функциями такими, что

Упражнение 6.7. (а) Пусть непрерывна в области Пусть неотрицательные функции, непрерывные в не убывающие по и при фиксированном и удовлетворяющие следующим условиям:

Далее, пусть на отрезке определены непрерывные неотрицательные функции удовлетворяющие условиям для при Пусть каждое решение уравнения определенное для малых и стремящееся к нулю при удовлетворяет неравенству на любом своем интервале существования. Наконец, предположим, что является единственным решением уравнения для малых обладающим таким свойством: при Тогда задача Коши имеет ровно одно решение. (Ь) Докажите, что функции удовлетворяют предположениям если

Следующая теорема включает «одностороннее неравенство» и дает «одностороннюю единственность».

Теорема 6.2. Пусть непрерывна в области

Считая евклидовыми векторами, предположим, что

для где точка обозначает скалярное произведение. Тогда задача (6.4) имеет на любом отрезке не более одного решения.

Если теорему единственности желательно иметь для отрезков достаточно потребовать выполнения неравенства, обратного к (6.8).

Следствие 6.3. Пусть непрерывная вещественная функция в области не убывающая относительно и (при фиксированном Тогда задача Коши имеет на любом отрезке не более одного решения.

Доказательство теоремы 6.2. Пусть решения задачи Коши (6.4) на Обозначим через квадрат евклидовой длины вектора так Но в силу неравенства Следовательно, на и требовалось доказать.

Упражнение 6.8 («одностороннее» обобщение критерия Нагумо и теоремы 6.2). Теорема 6.2 остается справедливой, если (6.8) заменить более слабым условием: