§ 5. Устойчивость периодических решений

Вернемся к ситуации теоремы 4.1.

Теорема 5.1. Пусть удовлетворяют предположениям теоремы 4.1. Тогда существует такое, что если находится от на расстоянии не больше чем и притом с той же стороны (извне или изнутри) от что и то задача

имеет решение для такое, что при

Доказательство. Пусть, для определенности, орбита является внешней по отношению к Пусть трансверсаль, проходящая через и пересекающаяся с при значениях

параметра Значит, точки стремятся к монотонно вдоль

Обозначим через жорданову кривую, состоящую из дуги кривой и открытого интервала трансверсали соединяющего точки Пусть внутренняя область кривой Заметим, что множество является открытым и односвязным в так как полностью, за исключением лишь точки лежит внутри см. рис. 7.

Рис. 7. Заштрихованная область есть

Ясно, что если достаточно мало, то множество содержитвсе точки находящиеся от на расстоянии не больше чем и расположенные с той же стороны, что и В силу следствия 4.1 ясно, что объединение при больших расположено в пределах -окрестности Так как для то можно считать, что множество не содержит стационарных точек; в противном случае значения можно начать отсчитывать от

Для доказательства теоремы достаточно рассматривать лишь точки так что при некотором Пусть есть решение задачи (5.1) для близких к нулю. По теореме 4.4 продолжение этого решения для увеличивающихся встречает границу множества при некотором конечном значении Пусть есть первое значение для которого где Можно считать, что

для Если учесть направление пересечений решений с то мы получим так что Если Сскажем то можно определить для Если то существует для близких к и входит в

Продолжая этот процесс, мы получим определенное для всех 0, так что или Для некоторого а и больших или решение при увеличении проходит последовательно через Теорема доказана.

Пусть есть периодическое решение уравнение с периодом так что кривая является жордановой. Решение называется орбитально устойчивым извне при если для каждого существует такое, что если точка лежит во внешней области кривой на расстоянии от нее, то все решения задачи (5.1) существуют и остаются при в -окрестности Решение называется асимптотически орбитально устойчивым извне при если существует такое, что если точка лежит во внешней области кривой на расстоянии от нее, то все решения задачи (5.1) существуют при Можно сформулировать аналогичные определения, заменив внешнюю область на внутреннюю и или на

Теорема 5.2. Пусть функция непрерывна в открытом плоском множестве и пусть решения уравнения определяются начальными условиями однозначно. Пусть есть периодическое решение уравнения с наименьшим положительным периодом Тогда (i) для того чтобы было асимптотически орбитально устойчивым извне при необходимо и достаточно, чтобы орбита являлась -множеством для некоторого решения расположенного во внешней области для того чтобы было орбитально устойчивым извне при необходимо и достаточно, чтобы или орбита являлась -множеством для некоторого решения расположенного во внешней области или чтобы для каждого существовало периодическое решение уравнения (1.1), расположенное во внешней части -окрестности

Доказательство. «необходимость» тривиальна, а «достаточность» следует из теоремы 5.1. В (ii) «достаточность» ясна из теоремы 5.1. Для доказательства «необходимости» предположим, что решение орбитально устойчиво извне. Так как решения задач Коши для системы (5.1) единственны, то на а значит, и в некоторой его -окрестности. Пусть есть решение уравнения расположенное во внешней части -окрестности решения где Тогда имеет в

компактное замыкание и не содержит стационарных точек, так что согласно теореме 4.1, является орбитой периодического решения уравнения Значит, или или есть периодическая орбита, расположенная во внешней части -окрестности орбиты